Siendo \( \Omega\) el universo o espacio sobre el cual se definen conjuntos. Cualquier identidad entre conjuntos obtenida con uniones, intersecciones y complementos permanece válida si los símbolos \[ \cap\hspace{10pt} \subset\hspace{10pt} \emptyset \] son reeemplazados por \[ \cup \hspace{10pt} \supset \hspace{10pt} \Omega \] respectivamente y la igualdad \( =\) y complemento \( ^c\) permanecen constantes.
Veamos algunas ecuaciones útiles de teoría de conjuntos
\[ A\cap (\bigcup_{x\in X}A_x)=\bigcup_{x\in X}(A\cap A_x) \]
\[ A\cup (\bigcap_{x\in X}A_x)=\bigcap_{x\in X}(A\cup A_x) \]
\[ (\bigcup_{x\in X} A_x)^c=\bigcap_{x\in X}A_x^c \]
\[ (\bigcap_{x\in X} A_x)^c=\bigcup_{x\in X}A_x^c \]
Recuerda que el símbolo de suma se refiere a la unión disjunta de conjuntos. La palabra clase
será reservada para denotar a un conjunto de conjuntos. Usamos la palabra colección
para un conjunto de clases.
\[ \bigcup_{i=1}^\infty A_i = A_1+\sum_{i=2}^\infty (A_i-\bigcup_{j=1}^{i-1}A_j) \]
\[ \bigcap_{i=1}^\infty A_i=A_1-\bigcup_{i=1}^\infty (A_1-A_i)\]
\[ \sum_{i=1}^\infty A_i=\bigcup_{i=1}^\infty\sum_{n=1}^iA_n\]
Recuerda que llamamos diferencia propia de conjuntos \(A-B\) cuando \(B\subset A\).
Sea \(I_A\) la función indicadora del conjunto \(A\subset \Omega\), se cumple que
\[
A\subset B \iff I_A\leq I_B
\]
\[
I_{A^C}=1-I_A
\]
\[
I_{A\cap B}=I_AI_B
\]
\[
I_{\cap_{i=1}^n A_i}=\prod_{i=1}^n A_i
\]
\[
I_{A\cup B}=I_A+I_B-I_AI_B
\]
\[
I_{\cup_{i=1}^n A_i}=1-\prod_{i=1}^n (1-A_{A_i})
\]
\[
I_{\lim_{n} sup A_n}=\lim_n sup I_{A_n}
\]
\[
I_{\lim_n inf A_n}=\lim_n inf I_{A_n}
\]
Algunas propiedades de la imagen y preimagen de funciones.
\[ f^{-1}(A^c)=(f^{-1}(A))^c \] \[ f^{-1}(\bigcap_{\alpha\in I} A_{\alpha})=\bigcap_{\alpha \in I}f^{-1}(A_{\alpha}) \] \[ f^{-1}(\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha})=\bigcup_{\alpha \in I}f^{-1}(A_{\alpha}) \] \[ f(\bigcup_{\alpha\in I B_{\alpha}})=\bigcup_{\alpha \in I} f(B_{\alpha}) \] \[ f(\bigcap_{\alpha \in I} A_{\alpha})\subset \bigcap_{\alpha \in I}f(A_{\alpha}) \]
Algunos resultados de topología general y análisis también deben tenerse en cuenta.Para todo subconjunto \( S\) de \( \mathbb{R}^n\), \( S\) es compacto si y solo si es cerrado y acotado.
Recuerda que un conjunto \( S\) es compacto cuando toda cobertura abierta de \( S\) tiene una subcobertura finita
. El teorema de Heine-Borel se mantiene si para \( S\) en lugar de ser un subconjunto de \( \mathbb{R}^n\) se toma como un espacio métrico cualquiera. Incluso para su generalización a \( S\) un espacio uniforme.
El espacio topológico producto (con su topología de Tychonoff) de un conjunto arbitrario de espacios topológicos compactos es compacto.
Para su demostración es necesario el axioma de elección. El teorema de Tychonoff tiene como corolario inmediato al teorema de Heine-Borel.
Un espacio topológico \( X\) es normal si y solo si cualquier par de conjuntos disjuntos no vacíos cerrados \( A\), \( B\) de \( X\), existe una función continua \( f:X\to [0,1]\) tal que \( f(A)=\{0\}\) y \( f(B)=\{1\}\).
Recuerda que decimos que un espacio topológico \( X\) es normal cuando todo par de subconjuntos cerrados disjuntos de \( X\) tiene coberturas abiertas disjuntas que los rodeen. Todos los espacios métricos son normales, en particular, \( \mathbb{R}^n\) es normal.
Continuando con los conceptos topológicos, decimos que una clase \( \mathbb{B}\) es una base del espacio topológico \( (X,\mathcal{T}_X)\) si para todo \( x\in X\) y toda vecindad \( V\) de \( x\) existe un set \( B\in \mathbb{B}\) tal que \( x\in B\subset V\). La topología de la recta real es determinada por el requisito de que la clase de todos los intervalos abiertos es una base. Decimos que un espacio \( X\) es separable si tiene una base numerable. Una subbase es una colección de conjuntos tal que la colección de las intersecciones finitas de elementos de este conjunto es una base.
Una espacio topológico es un espacio de Hausdorff si todo par de puntos distintos tienen vecindades disjuntas.
Una transformación \( T\) de un espacio topológico \( (X,\mathcal{T}_X)\) a un espacio topológico \( (Y,\mathcal{T}_Y) \) es continua si la imagen inversa de todo conjunto abierto (o cerrado) en \( Y\) es abierto (o cerrado) en \( X\). La transformación es abierta si la imagen de todo subconjunto abierto es abierta. Si \( \mathbb{B}\) es una subbase en \( Y\), entonces una condición necesaria y suficiente para que la transformación sea continua es que \( T^{-1}(B)\) sea abierto para todo \( B\in \mathbb{B}\). Si una transformación continua mapea \( X\) en \( Y\) y \( X\) es compacto, entonces \( Y\) es compacto. Un homeomorfismo es una transformación inyectiva y continua cuya inversa también es continua.
Sea \( X\) un grupo, un subconjunto \( Y\subset X\) es un subgrupo si y solo si \( Y^{-1}Y\subset Y\) con \( Y^{-1}=\{y^{-1}\in X:y\in Y\}\). Sea \( E\) un subconjunto arbitrario de \( X\), escribimos usualmente \( xE\) en lugar de \( \{x\}E\) y llamamos a este conjunto la traslación izquierda de \( E\). Analogamente \( Ex\) es la traslación derecha. Si \( Y\) es un subgrupo, \( xY\) y \( Yx\) reciben el nombre de left coset and right coset.
Un grupo topológico es un grupo \( G\) que es un espacio de Hausdorff tal que la transformación sobreyectiva \( T:G\times G\to G\) definida como \( T(x,y)=x^{-1}y \) es continua. Una clase \( \mathcal{N}\) de conjuntos abiertos que contienen al elemento neutro \( e\) en un grupo topológico es una base en \( e\) si
Sea \( G\) un grupo cualquiera. Sea \( \mathcal{N}\) la clase de todos los subconjuntos de \( G\) que satisfacen las condiciones mencionadas arriba. Si la clase de todas las traslaciones de conjuntos en \( \mathcal{N}\) se toma como base, entonces con respecto a la topología así definida, \( G\) es un grupo topológico.
Una vecindad \( V\) de \( e\) es simétrica si \( V=V^{-1}\). La clase de todas las vecindades simétricas de \( e\) es una base en \( e\). Si \( \mathcal{N}\) es una base en \( e\) y si \( F\) es cerrado en \( G\), entonces \( F=\bigcap_{U\in \mathcal{N}} UF\).
Si \( Y\) es un subgrupo invariante y cerrado del grupo topológico \( G\) y si un subset de \(\hat{G}=G/Y \) es llamado abierto si y solo si su imagen inversa por la proyección canónica \( \pi\) es abierta en \( G\), entonces \( \hat{G}\) es un grupo topológico y la transformación \( \pi\) de \( G\) en \( G/Y\) es abierta y continua.
Algunas definiciones de gran utilidad. Sea \( \Omega \) un conjunto no vacío y \( S \subset \wp(\Omega)\) una clase no vacía de subconjuntos de \( \Omega\).
Definición: \( S\) es un semi-anillo si y solamente si
- \( A,B\in S \implies A\cap B\in S\).
- \( A,B \in S \implies A-B=\sum_{i=1}^n C_i\) para \( n\in \mathbb{N}\) y para \( C_i\in S\) para todo \( i\in \{1,...,n\}\).
Es evidente que la segunda propiedad implica que \( \emptyset \in S\).
Definición: \( S\) es un semi-álgebra si y solamente si es un semi-anillo y \( \Omega \in S\)
Sea \( R\) una clase de conjuntos tal que \(\emptyset \neq R\subset \wp(\Omega) \). Son equivalentes las siguientes afirmaciones:
- \( R \) es cerrada por unión finita y diferencia.
- \( R \) es cerrada por unión finita y diferencia propia.
- \( R \) es cerrada por diferencia simétrica e intersección finita.
- \( R \) es cerrada por unión finita disjunta, diferencia propia e intersección finita.
Definición: \( R\) es un anillo si satisface alguna de las condiciones de la proposición anterior. \( R \) es un álgebra si es un anillo y \(\Omega\in R \).
La intersección de cualquier familia de anillos es un anillo. Podemos definir el anillo generado por una clase de subconjuntos \( C\) de \(\Omega \) como el menor anillo que contiene a \( C\). Es evidente también que este anillo generado es la intersección de todos los anillos que contienen a \( C \).
Si \( E\) es cualquier clase de conjuntos, entonces todo conjunto en el anillo generado de \( E\) que se denota como \( R(E)\) puede ser cubierto por una unión finita de conjuntos en \( E\).
Si \( E\) es una clase numerable de conjuntos, \( R(E)\) también es numerable.
Si \( S \) es un semianillo entonces \( R(S) \) es la clase de sumas finitas disjuntas de elementos de \( S \). Lo mismo si \( S \) es un semi-algebra.
Sea ahora \( A\) tal que \( \emptyset\neq A\subset \wp(\Omega)\).
Definición: \( A\) es un \(\sigma- \)anillo si y solamente si es cerrada por diferencias y por uniones numerables. Si \( A\) es un \(\sigma- \)anillo y \(\Omega\in A\), se dice que \( A\) es un \(\sigma- \)álgebra.
\( A \) es un \(\sigma- \)anillo si y solamente si es cerrado cerrado por intersección finita, diferencia propia y suma numerable.
Todo \(\sigma- \)anillo \( S\) es cerrado por intersección numerable. Además, si \( \{E_i\}_{i\in \mathbb{N}}\) es un secuencia de conjuntos en \( S\), se sigue que \( \lim_n inf E_n\) y \( \lim_n sup E_n\) son elementos de \( S\).
Como todo \(\sigma- \)anillo es cerrado por uniones e intersecciones numerables, sigue que todo \(\sigma- \)anillo es cerrado con respecto al límite superior y límite inferior de secuencias de conjuntos. El mismo concepto de anillo y álgebra generada de una colección de subconjuntos de \(\Omega\) aplica para \(\sigma- \)anillo y \(\sigma- \)álgebras. Simbolizamos al \(\sigma- \)álgebra generado por \(C\) como \(\sigma(C)\). Mediante \(\tilde{\sigma}(C)\) se simboliza al \(\sigma- \)anillo generado.
Definición: \( A\) es un clase \(\sigma- \)aditiva si y solamente si \(\Omega\in A\) y es cerrada por diferencia propia, suma finita y unión creciente.
Que sea cerrado por unión creciente
se refiere a que para toda secuencia de conjuntos \( \{A_i\}_{i\in \mathbb{N}}\) que sea creciente, es decir, que para todo \( n\in\mathbb{N} \), \(A_n\subset A_{n+1} \), la unión de la familia es un elemento de A, es decir,
\[\bigcup_{i=1}^\infty A_i\in A \]
Nuevamente, la intersección de una familia cualquiera de clases \(\sigma- \)aditivas es \(\sigma- \)aditiva.
Si \(C \) es una clase no vacía de conjuntos cerrada por intersección finita, entonces la clase \(\sigma- \)aditiva generada por \(C \) es igual a \(\sigma(C) \).
Definición: \( A\) es un clase monotónica si es cerrada por unión numerable creciente y por intersección numerable decreciente.
Nuevamente podemos formular el concepto de clase monotónica generada.
Si \(R\) es un álgebra, la clase monotónica generada por \(R\) es \(\sigma(R)\), es decir, su \(\sigma-\)álgebra generada. El resultado análogo para anillos se cumple.
Sea \(\Omega\) un conjunto y \(\emptyset \neq A\subset \wp(\Omega)\).
Definición: Una función \( \mu:A\to (-\infty,+\infty]\) es llamada una función de conjunto.
Definición: Sea \(\mu\) una función de conjunto, \(\mu\) es finitamente aditiva si y solamente si para \(A_i\in A, 1\leq i \leq n\), \( S=\sum_{i=1}^n A_i\in A\) entonces se tiene que \[ \mu(S)=\sum_{i=1}^n\mu(A_i).\] Se dice que \(\mu \) es \(\sigma- \)aditiva si y solo si para toda familia numerable \( \{A_i\}_{i\in\mathbb{N}}\) con \(A_i\in A \) para todo \(i\in \mathbb{N} \) y \( S=\sum_{i=1}^\infty A_i \in A\), se tiene que \[ \mu(S)=\sum_{i=1}^\infty \mu(A_i).\]
Definición: Si \( \mathbb{S}\) es un semianillo, \(\mu:\mathbb{S}\to [0,+\infty] \) es una medida finitamente aditiva si y solo si \(\mu(\emptyset)=0 \) y \( \mu\) es finitamente aditiva. Una medida finitamente aditiva que es \(\sigma- \)aditiva es llamada una medida.Se puede definir analogamente medidas sobre semi-algebras, anillos, álgebras, \(\sigma \)-anillos y \( \sigma\)-álgebras.
Definición: Un triple \( (\Omega,A,\mu)\) en el que \(\Omega \) es un conjunto, \( A\) es un \( \sigma-\)álgebra contenida en \( \wp(\Omega)\) y \( \mu\) es un medida sobre \( A\) es llamado un espacio de medida. La dupla \( (\Omega,A)\) es llamado un espacio medible.
Un espacio de medida \( (\Omega,A,\mu)\) en el que \(\mu(\Omega)=1 \) es denominado espacio de probabilidades.
Sea \( (\Omega,\mathcal{A},\mu)\) un espacio de medida
- \(A\subset B\), \( \mu(B)<\infty\) entonces \( \mu(B-A)=\mu (B)-\mu (A)\).
- \(A_n \uparrow A \implies \mu(A)=\lim \mu(A_n)\).
- \(A_n \downarrow A\) y \( \exists k\in \mathbb{N}/\mu (A_k)<\infty\) implica que \( \mu(A)=\lim \mu (A_n)\).
- \(\mu \left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)\leq \sum_{n=1}^\infty \mu (A_n)\).
- Para toda secuencia \( \{A_n\}\) de elementos de \(\mathcal{A} \), \[ \mu(\lim inf A_n)\leq \lim inf \mu (A_n) \] y si para algún \( k\in \mathbb{N}\), \( \mu \left( \bigcup_{n=k}^\infty A_n\right)<\infty\), entonces \[ \lim sup \mu (A_n)\leq \mu(\lim sup A_n) \] De forma particular, si \( (\Omega,\mathcal{A},P)\) es un espacio de probabilidades, \( A_n\rightarrow A\) implica que \( P(A_n)\rightarrow P(A)\).
- \( \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)<\infty\implies \mu(\lim sup A_n)=0\).
Observe que esta proposición es válida incluso si \( \mathcal{A}\) es tan solo un \( \sigma\)-anillo.
El contenido de está entrada ha sido parcialmente redactado por F. Peña-Garcia y parcialmente recopilado y traducido de los textos que se listan en las referencias. No reclamo derechos intelectuales sobre cualquier parte del texto incluso si es enteramente de mi autoría puesto que el contenido teórico
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