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Teoría de la medida

Preliminares

Se tomará como equivalente a y se tomará como subconjunto propio.

Principio de Dualidad

Siendo Ω el universo o espacio sobre el cual se definen conjuntos. Cualquier identidad entre conjuntos obtenida con uniones, intersecciones y complementos permanece válida si los símbolos son reeemplazados por Ω respectivamente y la igualdad = y complemento c permanecen constantes.

Veamos algunas ecuaciones útiles de teoría de conjuntos A(xXAx)=xX(AAx) A(xXAx)=xX(AAx) (xXAx)c=xXAxc (xXAx)c=xXAxc Recuerda que el símbolo de suma se refiere a la unión disjunta de conjuntos. La palabra clase será reservada para denotar a un conjunto de conjuntos. Usamos la palabra colección para un conjunto de clases. i=1Ai=A1+i=2(Aij=1i1Aj) i=1Ai=A1i=1(A1Ai) i=1Ai=i=1n=1iAn Recuerda que llamamos diferencia propia de conjuntos AB cuando BA.
Sea IA la función indicadora del conjunto AΩ, se cumple que ABIAIB IAC=1IA IAB=IAIB Ii=1nAi=i=1nAi IAB=IA+IBIAIB Ii=1nAi=1i=1n(1AAi) IlimnsupAn=limnsupIAn IlimninfAn=limninfIAn Algunas propiedades de la imagen y preimagen de funciones.

f1(Ac)=(f1(A))c f1(αIAα)=αIf1(Aα) f1(αIAα)=αIf1(Aα) f(αIBα)=αIf(Bα) f(αIAα)αIf(Aα)

Algunos resultados de topología general y análisis también deben tenerse en cuenta.

Teorema de Heine-Borel

Para todo subconjunto S de Rn, S es compacto si y solo si es cerrado y acotado.

Recuerda que un conjunto S es compacto cuando toda cobertura abierta de S tiene una subcobertura finita. El teorema de Heine-Borel se mantiene si para S en lugar de ser un subconjunto de Rn se toma como un espacio métrico cualquiera. Incluso para su generalización a S un espacio uniforme.

Teorema de Tychonoff

El espacio topológico producto (con su topología de Tychonoff) de un conjunto arbitrario de espacios topológicos compactos es compacto.

Para su demostración es necesario el axioma de elección. El teorema de Tychonoff tiene como corolario inmediato al teorema de Heine-Borel.

Lema de Urysohn

Un espacio topológico X es normal si y solo si cualquier par de conjuntos disjuntos no vacíos cerrados A, B de X, existe una función continua f:X[0,1] tal que f(A)={0} y f(B)={1}.

Recuerda que decimos que un espacio topológico X es normal cuando todo par de subconjuntos cerrados disjuntos de X tiene coberturas abiertas disjuntas que los rodeen. Todos los espacios métricos son normales, en particular, Rn es normal.
Continuando con los conceptos topológicos, decimos que una clase B es una base del espacio topológico (X,TX) si para todo xX y toda vecindad V de x existe un set BB tal que xBV. La topología de la recta real es determinada por el requisito de que la clase de todos los intervalos abiertos es una base. Decimos que un espacio X es separable si tiene una base numerable. Una subbase es una colección de conjuntos tal que la colección de las intersecciones finitas de elementos de este conjunto es una base.
Una espacio topológico es un espacio de Hausdorff si todo par de puntos distintos tienen vecindades disjuntas.
Una transformación T de un espacio topológico (X,TX) a un espacio topológico (Y,TY) es continua si la imagen inversa de todo conjunto abierto (o cerrado) en Y es abierto (o cerrado) en X. La transformación es abierta si la imagen de todo subconjunto abierto es abierta. Si B es una subbase en Y, entonces una condición necesaria y suficiente para que la transformación sea continua es que T1(B) sea abierto para todo BB. Si una transformación continua mapea X en Y y X es compacto, entonces Y es compacto. Un homeomorfismo es una transformación inyectiva y continua cuya inversa también es continua.
Sea X un grupo, un subconjunto YX es un subgrupo si y solo si Y1YY con Y1={y1X:yY}. Sea E un subconjunto arbitrario de X, escribimos usualmente xE en lugar de {x}E y llamamos a este conjunto la traslación izquierda de E. Analogamente Ex es la traslación derecha. Si Y es un subgrupo, xY y Yx reciben el nombre de left coset and right coset.

Un grupo topológico es un grupo G que es un espacio de Hausdorff tal que la transformación sobreyectiva T:G×GG definida como T(x,y)=x1y es continua. Una clase N de conjuntos abiertos que contienen al elemento neutro e en un grupo topológico es una base en e si

  1. Para cada x distinto de e existe un conjunto U en N tal que xU.
  2. Para todo par U,VN existe un conjunto WN tal que WUV.
  3. Para todo conjunto UN existe un conjunto VN tal que V1VU.
  4. Para todo UN y cualquier xG, existe un conjunto VN tal que VxUx1.
  5. Para todo UN y cualquier xU, existe un conjunto VN tal que VxU.
La clase de todas las vecindades de e es una base en e. El siguiente resultado es sumamente relevante.

Proposición

Sea G un grupo cualquiera. Sea N la clase de todos los subconjuntos de G que satisfacen las condiciones mencionadas arriba. Si la clase de todas las traslaciones de conjuntos en N se toma como base, entonces con respecto a la topología así definida, G es un grupo topológico.

Una vecindad V de e es simétrica si V=V1. La clase de todas las vecindades simétricas de e es una base en e. Si N es una base en e y si F es cerrado en G, entonces F=UNUF.
Si Y es un subgrupo invariante y cerrado del grupo topológico G y si un subset de G^=G/Y es llamado abierto si y solo si su imagen inversa por la proyección canónica π es abierta en G, entonces G^ es un grupo topológico y la transformación π de G en G/Y es abierta y continua.

Clases de conjuntos

Algunas definiciones de gran utilidad. Sea Ω un conjunto no vacío y S(Ω) una clase no vacía de subconjuntos de Ω.

Definición: S es un semi-anillo si y solamente si
- A,BSABS.
- A,BSAB=i=1nCi para nN y para CiS para todo i{1,...,n}.

Es evidente que la segunda propiedad implica que S.

Definición: S es un semi-álgebra si y solamente si es un semi-anillo y ΩS

Proposición

Sea R una clase de conjuntos tal que R(Ω). Son equivalentes las siguientes afirmaciones:
- R es cerrada por unión finita y diferencia.
- R es cerrada por unión finita y diferencia propia.
- R es cerrada por diferencia simétrica e intersección finita.
- R es cerrada por unión finita disjunta, diferencia propia e intersección finita.
Definición: R es un anillo si satisface alguna de las condiciones de la proposición anterior. R es un álgebra si es un anillo y ΩR.

La intersección de cualquier familia de anillos es un anillo. Podemos definir el anillo generado por una clase de subconjuntos C de Ω como el menor anillo que contiene a C. Es evidente también que este anillo generado es la intersección de todos los anillos que contienen a C.

Teorema

Si E es cualquier clase de conjuntos, entonces todo conjunto en el anillo generado de E que se denota como R(E) puede ser cubierto por una unión finita de conjuntos en E.

Teorema

Si E es una clase numerable de conjuntos, R(E) también es numerable.

Corolario

Si S es un semianillo entonces R(S) es la clase de sumas finitas disjuntas de elementos de S. Lo mismo si S es un semi-algebra.

Sea ahora A tal que A(Ω).

Definición: A es un σanillo si y solamente si es cerrada por diferencias y por uniones numerables. Si A es un σanillo y ΩA, se dice que A es un σálgebra.

Proposición

A es un σanillo si y solamente si es cerrado cerrado por intersección finita, diferencia propia y suma numerable.

Proposición

Todo σanillo S es cerrado por intersección numerable. Además, si {Ei}iN es un secuencia de conjuntos en S, se sigue que limninfEn y limnsupEn son elementos de S.

Como todo σanillo es cerrado por uniones e intersecciones numerables, sigue que todo σanillo es cerrado con respecto al límite superior y límite inferior de secuencias de conjuntos. El mismo concepto de anillo y álgebra generada de una colección de subconjuntos de Ω aplica para σanillo y σálgebras. Simbolizamos al σálgebra generado por C como σ(C). Mediante σ~(C) se simboliza al σanillo generado.

Definición: A es un clase σaditiva si y solamente si ΩA y es cerrada por diferencia propia, suma finita y unión creciente.

Que sea cerrado por unión creciente se refiere a que para toda secuencia de conjuntos {Ai}iN que sea creciente, es decir, que para todo nN, AnAn+1, la unión de la familia es un elemento de A, es decir, i=1AiA Nuevamente, la intersección de una familia cualquiera de clases σaditivas es σaditiva.

Proposición

Si C es una clase no vacía de conjuntos cerrada por intersección finita, entonces la clase σaditiva generada por C es igual a σ(C).
Definición: A es un clase monotónica si es cerrada por unión numerable creciente y por intersección numerable decreciente.

Nuevamente podemos formular el concepto de clase monotónica generada.

Proposición

Si R es un álgebra, la clase monotónica generada por R es σ(R), es decir, su σálgebra generada. El resultado análogo para anillos se cumple.

Medidas y extensión de medidas

Sea Ω un conjunto y A(Ω).

Definición: Una función μ:A(,+] es llamada una función de conjunto.
Definición: Sea μ una función de conjunto, μ es finitamente aditiva si y solamente si para AiA,1in, S=i=1nAiA entonces se tiene que μ(S)=i=1nμ(Ai). Se dice que μ es σaditiva si y solo si para toda familia numerable {Ai}iN con AiA para todo iN y S=i=1AiA, se tiene que μ(S)=i=1μ(Ai).
Definición: Si S es un semianillo, μ:S[0,+] es una medida finitamente aditiva si y solo si μ()=0 y μ es finitamente aditiva. Una medida finitamente aditiva que es σaditiva es llamada una medida.
Se puede definir analogamente medidas sobre semi-algebras, anillos, álgebras, σ-anillos y σ-álgebras.
Si μ es una medida en un anillo R, un conjunto ER se dice que tiene una medida finita si μ(E)<. La medida de E es σ-finita si existe una secuencia {En} de conjuntos en R tal que En=1En y μ(En)<,n=1,2,... Es evidente que toda medida finita es σ-finita. Si la medida en todo ER es finita (o σ-finita), se dice que la medida en R es finita (o σ-finita). Si R es un álgebra, es decir, si ΩR y μ(Ω) es finita o σ-finita, entonces μ se dice que es totalmente finita o totalmente σ-finita respectivamente. La medida μ es completa si ER,FE,μ(E)=0 implican que FR.

Definición: Un triple (Ω,A,μ) en el que Ω es un conjunto, A es un σálgebra contenida en (Ω) y μ es un medida sobre A es llamado un espacio de medida. La dupla (Ω,A) es llamado un espacio medible.

Un espacio de medida (Ω,A,μ) en el que μ(Ω)=1 es denominado espacio de probabilidades.

Proposición

Sea (Ω,A,μ) un espacio de medida
  1. AB, μ(B)< entonces μ(BA)=μ(B)μ(A).
  2. AnAμ(A)=limμ(An).
  3. AnA y kN/μ(Ak)< implica que μ(A)=limμ(An).
  4. μ(n=1An)n=1μ(An).
  5. Para toda secuencia {An} de elementos de A, μ(liminfAn)liminfμ(An) y si para algún kN, μ(n=kAn)<, entonces limsupμ(An)μ(limsupAn) De forma particular, si (Ω,A,P) es un espacio de probabilidades, AnA implica que P(An)P(A).
  6. n=1μ(An)<μ(limsupAn)=0.

Observe que esta proposición es válida incluso si A es tan solo un σ-anillo.

Referencias


El contenido de está entrada ha sido parcialmente redactado por F. Peña-Garcia y parcialmente recopilado y traducido de los textos que se listan en las referencias. No reclamo derechos intelectuales sobre cualquier parte del texto incluso si es enteramente de mi autoría puesto que el contenido teórico que es acá desarrollado es patrimonio de la humanidad.
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