Se tomará como equivalente a y se tomará como subconjunto propio.
Principio de Dualidad
Siendo el universo o espacio sobre el cual se definen conjuntos. Cualquier identidad entre conjuntos obtenida con uniones, intersecciones y complementos permanece válida si los símbolos
son reeemplazados por
respectivamente y la igualdad y complemento permanecen constantes.
Veamos algunas ecuaciones útiles de teoría de conjuntos
Recuerda que el símbolo de suma se refiere a la unión disjunta de conjuntos. La palabra clase será reservada para denotar a un conjunto de conjuntos. Usamos la palabra colección para un conjunto de clases.
Recuerda que llamamos diferencia propia de conjuntos cuando .
Sea la función indicadora del conjunto , se cumple que
Algunas propiedades de la imagen y preimagen de funciones.
Algunos resultados de topología general y análisis también deben tenerse en cuenta.
Teorema de Heine-Borel
Para todo subconjunto de , es compacto si y solo si es cerrado y acotado.
Recuerda que un conjunto es compacto cuando toda cobertura abierta de tiene una subcobertura finita. El teorema de Heine-Borel se mantiene si para en lugar de ser un subconjunto de se toma como un espacio métrico cualquiera. Incluso para su generalización a un espacio uniforme.
Teorema de Tychonoff
El espacio topológico producto (con su topología de Tychonoff) de un conjunto arbitrario de espacios topológicos compactos es compacto.
Para su demostración es necesario el axioma de elección.
El teorema de Tychonoff tiene como corolario inmediato al teorema de Heine-Borel.
Lema de Urysohn
Un espacio topológico es normal si y solo si cualquier par de conjuntos disjuntos no vacíos cerrados , de , existe una función continua tal que y .
Recuerda que decimos que un espacio topológico es normal cuando todo par de subconjuntos cerrados disjuntos de tiene coberturas abiertas disjuntas que los rodeen. Todos los espacios métricos son normales, en particular, es normal.
Continuando con los conceptos topológicos, decimos que una clase es una base del espacio topológico si para todo y toda vecindad de existe un set tal que . La topología de la recta real es determinada por el requisito de que la clase de todos los intervalos abiertos es una base. Decimos que un espacio es separable si tiene una base numerable. Una subbase es una colección de conjuntos tal que la colección de las intersecciones finitas de elementos de este conjunto es una base.
Una espacio topológico es un espacio de Hausdorff si todo par de puntos distintos tienen vecindades disjuntas.
Una transformación de un espacio topológico a un espacio topológico es continua si la imagen inversa de todo conjunto abierto (o cerrado) en es abierto (o cerrado) en . La transformación es abierta si la imagen de todo subconjunto abierto es abierta. Si es una subbase en , entonces una condición necesaria y suficiente para que la transformación sea continua es que sea abierto para todo . Si una transformación continua mapea en y es compacto, entonces es compacto. Un homeomorfismo es una transformación inyectiva y continua cuya inversa también es continua.
Sea un grupo, un subconjunto es un subgrupo si y solo si con . Sea un subconjunto arbitrario de , escribimos usualmente en lugar de y llamamos a este conjunto la traslación izquierda de . Analogamente es la traslación derecha. Si es un subgrupo, y reciben el nombre de left coset and right coset.
Un grupo topológico es un grupo que es un espacio de Hausdorff tal que la transformación sobreyectiva definida como es continua. Una clase de conjuntos abiertos que contienen al elemento neutro en un grupo topológico es una base en si
Para cada distinto de existe un conjunto en tal que .
Para todo par existe un conjunto tal que .
Para todo conjunto existe un conjunto tal que .
Para todo y cualquier , existe un conjunto tal que .
Para todo y cualquier , existe un conjunto tal que .
La clase de todas las vecindades de es una base en . El siguiente resultado es sumamente relevante.
Proposición
Sea un grupo cualquiera. Sea la clase de todos los subconjuntos de que satisfacen las condiciones mencionadas arriba. Si la clase de todas las traslaciones de conjuntos en se toma como base, entonces con respecto a la topología así definida, es un grupo topológico.
Una vecindad de es simétrica si . La clase de todas las vecindades simétricas de es una base en . Si es una base en y si es cerrado en , entonces .
Si es un subgrupo invariante y cerrado del grupo topológico y si un subset de es llamado abierto si y solo si su imagen inversa por la proyección canónica es abierta en , entonces es un grupo topológico y la transformación de en es abierta y continua.
Clases de conjuntos
Algunas definiciones de gran utilidad. Sea un conjunto no vacío y una clase no vacía de subconjuntos de .
Definición: es un semi-anillo si y solamente si
- .
- para y para para todo .
Es evidente que la segunda propiedad implica que .
Definición: es un semi-álgebra si y solamente si es un semi-anillo y
Proposición
Sea una clase de conjuntos tal que . Son equivalentes las siguientes afirmaciones:
- es cerrada por unión finita y diferencia.
- es cerrada por unión finita y diferencia propia.
- es cerrada por diferencia simétrica e intersección finita.
- es cerrada por unión finita disjunta, diferencia propia e intersección finita.
Definición: es un anillo si satisface alguna de las condiciones de la proposición anterior. es un álgebra si es un anillo y .
La intersección de cualquier familia de anillos es un anillo. Podemos definir el anillo generado por una clase de subconjuntos de como el menor anillo que contiene a . Es evidente también que este anillo generado es la intersección de todos los anillos que contienen a .
Teorema
Si es cualquier clase de conjuntos, entonces todo conjunto en el anillo generado de que se denota como puede ser cubierto por una unión finita de conjuntos en .
Demostracion. La clase de todos los conjuntos que pueden ser cubiertos por una unión finita de conjuntos en es un anillo. En efecto, sea , por condición, y con . Tenemos que
la cual es unión finita de conjuntos en . Por otro lado, la diferencia
Se tiene entonces que es un anillo y dado que , entonces .
Teorema
Si es una clase numerable de conjuntos, también es numerable.
Demostración. Para cualquier clase de conjuntos, escribimos como la clase de todas las uniones finitas y diferencias de conjuntos en . Es evidente que si es numberable, es numerable. Además si , entonces .
Si , tomamos . Como si demostramos que es numerable, sigue que es numerable. Tomamos sin pérdida de generalidad que , escribimos
Es evidente que
Y que la clase es numerable. Ahora vamos a probar que es un anillo. Dado que
Entonces para todo par existe un tal que . Entonces
y como . Sigue que
Concluímos que es un anillo que contiene a y está contenido en , luego que .
Corolario
Si es un semianillo entonces es la clase de sumas finitas disjuntas de elementos de . Lo mismo si es un semi-algebra.
Sea ahora tal que .
Definición: es un anillo si y solamente si es cerrada por diferencias y por uniones numerables. Si es un anillo y , se dice que es un álgebra.
Proposición
es un anillo si y solamente si es cerrado cerrado por intersección finita, diferencia propia y suma numerable.
Proposición
Todo anillo es cerrado por intersección numerable. Además, si es un secuencia de conjuntos en , se sigue que y son elementos de .
Como todo anillo es cerrado por uniones e intersecciones numerables, sigue que todo anillo es cerrado con respecto al límite superior y límite inferior de secuencias de conjuntos. El mismo concepto de anillo y álgebra generada de una colección de subconjuntos de aplica para anillo y álgebras. Simbolizamos al álgebra generado por como . Mediante se simboliza al anillo generado.
Definición: es un claseaditiva si y solamente si y es cerrada por diferencia propia, suma finita y unión creciente.
Que sea cerrado por unión creciente se refiere a que para toda secuencia de conjuntos que sea creciente, es decir, que para todo , , la unión de la familia es un elemento de A, es decir,
Nuevamente, la intersección de una familia cualquiera de clases aditivas es aditiva.
Proposición
Si es una clase no vacía de conjuntos cerrada por intersección finita, entonces la clase aditiva generada por es igual a .
Definición: es un clase monotónica si es cerrada por unión numerable creciente y por intersección numerable decreciente.
Nuevamente podemos formular el concepto de clase monotónica generada.
Proposición
Si es un álgebra, la clase monotónica generada por es , es decir, su álgebra generada. El resultado análogo para anillos se cumple.
Medidas y extensión de medidas
Sea un conjunto y .
Definición: Una función es llamada una función de conjunto.
Definición: Sea una función de conjunto, es finitamente aditiva si y solamente si para , entonces se tiene que
Se dice que es aditiva si y solo si para toda familia numerable con para todo y , se tiene que
Definición: Si es un semianillo, es una medida finitamente aditiva si y solo si y es finitamente aditiva. Una medida finitamente aditiva que es aditiva es llamada una medida.
Se puede definir analogamente medidas sobre semi-algebras, anillos, álgebras, -anillos y -álgebras.
Si es una medida en un anillo , un conjunto se dice que tiene una medida finita si . La medida de es -finita si existe una secuencia de conjuntos en tal que
Es evidente que toda medida finita es -finita. Si la medida en todo es finita (o -finita), se dice que la medida en es finita (o -finita). Si es un álgebra, es decir, si y es finita o -finita, entonces se dice que es totalmente finita o totalmente -finita respectivamente. La medida es completa si
implican que .
Definición: Un triple en el que es un conjunto, es un álgebra contenida en y es un medida sobre es llamado un espacio de medida. La dupla es llamado un espacio medible.
Un espacio de medida en el que es denominado espacio de probabilidades.
Proposición
Sea un espacio de medida
, entonces .
.
y implica que .
.
Para toda secuencia de elementos de ,
y si para algún , , entonces
De forma particular, si es un espacio de probabilidades, implica que .
.
Observe que esta proposición es válida incluso si es tan solo un -anillo.
Demostracion. Veamos en cada caso
.
.
.
.
Referencias
Fernandez, Pedro Jesus (2002) Medida e integração.
Paul R. Halmos (1974) Measure theory.
El contenido de está entrada ha sido parcialmente redactado por F. Peña-Garcia y parcialmente recopilado y traducido de los textos que se listan en las referencias. No reclamo derechos intelectuales sobre cualquier parte del texto incluso si es enteramente de mi autoría puesto que el contenido teórico que es acá desarrollado es patrimonio de la humanidad.
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