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Categorias

Teoría de Categorías es el estudio del algebra de morfismos, en otras palabras, los morfismos son el corazón de esta teoría que incluso muchas veces los objetos simplemente existen para garantizar la definición de los morfismos. En una nota histórica, está teoría conoció la luz en 1945 con el trabajo General theory of natural equivalences de Eilenberg y Mac Lane. Las primeras aplicaciones se vieron en Topología algebraica y Álgebra abstracta, aunque no tardó su uso en lógica, computer science y muchas otras áreas. Actualmente se usa de forma casi tan extendidad como la Teoría de Conjuntos.

Referencias

Awodey, S. (2010). Category theory. Oxford university press.

Índice

Definiciones generales
Functores

Definiciones generales

Una categoría $\mathcal{C}$ consiste en

Una clase, denotada como $\mathcal{O}$ b(C) cuyos miembros son llamados objetos de $\mathcal{C}$ .
Un conjunto $M(X,Y)$ para cada par de objetos $X$ , $Y$ de $\mathcal{C}$ cuyos miembros son llamados morfismos o $\mathcal{C}$ -morfismos de $X$ a $Y$ . $M(X,Y)$ también es denotado por $Mor(X,Y)$ o por $Mor_{\mathcal{C}}(X,Y)$ .
Una función llamada composición $\circ_{X,Y,Z}: M(X,Y)\times M(Y,Z)\to M(X,Z)$ para cada triple de objetos $X$ , $Y$ , $Z$ en $\mathcal{C}$ . Si $f\in M(X,Y)$ y $g\in M(Y,Z)$ , entonces $\circ_{X,Y,Z}(f,g)$ será denotado por $g\circ f$ .
Un elemento $1_X\in M(X,X)$ para cada objeto $X$ de $\mathcal{C}$ llamado morfismo identidad en $X$ .

Los morfismos también son llamados arrows. La función composición de morfismos garantiza que estos se comporten de una forma similar a las funciones sin necesidad de serlo, se puede decir también que los morfismos son cerrados bajo composición. Sea $1_A$ y $1_B$ los morfismos identidad de $A$ y $B$ , respectivamente, por la función de composición, se demuestra que $f\circ 1_A =f=1_B\circ f$ . Esto último en contraposición con las conmutatividad del elemento identidad en teoría de grupos ( $1_G\circ x=x\circ 1_G=x$ ). Todos los elementos listados anteriormente cumplen con las siguientes condiciones:

Los conjuntos de morfismos $M(X,Y)$ y $M(Z,W)$ son mutuamente disjuntos a menos que $X=Z$ y $Y=W$ para todos los objetos $X$ , $Y$ , $Z$ , $W$ .
La composición es asociativa, es decir, para cualesquiera objetos $X$ , $Y$ , $Z$ , $W$ y para cualesquiera $f \in Mor(X,Y)$ , $g\in Mor(Y,Z)$ y $h\in Mor(Z,W)$ , $\circ_{X,Z,W}(\circ_{X,Y,Z}(f,g),h)=\circ_{X,Y,W}(f, \circ_{Y,Z,W}(g,h))$ , o, en notación simple, $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ .
El morfismo identidad actúa como una identidad de dos caras, es decir, para cualesquira objetos, $X$ , $Y$ , $Z$ de $\mathcal{C}$ y cualquier $f\in Mor(X,Y)$ y cualquier $g\in Mor(Y,Z)$ , $1_Y\circ f =f$ y $g\circ 1_Y=g$ .

La totalidad de todos los objetos en una categoría no necesita formar un conjunto, es solamente una clase; sin embargo, para cualquier par de objetos, los morfismos de uno a otro deben fomar un conjunto. Si dos objetos $X$ , $Y$ pertenecen a más de una categoría a la vez, sea $\mathcal{C}$ y $\mathcal{D}$ , entonces los respectivos conjuntos de morfismos de $X$ a $Y$ son denotados por $M_{\mathcal{C}(X,Y)}$ y $M_{\mathcal{D}}(X,Y)$ . Si $f\in Mor (X,Y)$ entonces $X$ es llamado el dominio y $Y$ el codominio de $f$ . En lugar de escribir $f \in Mor(X,Y)$ también podemos escribir $f:X\to Y$ o $X\xrightarrow{f}Y$ . $X$ y $Y$ no requieren ser conjuntos e incluso si lo son, $f$ no necesariamente es una función.

Es importante resaltar el hecho de que, viendo los elementos de una categoría y las condiciones que cumplen, la mayoría del stress es puesto en los morfismos y cómo se comportan. Para afianzar el hecho de que las arrows no necesitan ser funciones, es posible definir una categoría en la que los objetos son conjuntos y las arrows son matrices que toman como número de filas a la cardinalidad del dominio y como número de columnas a la cardinalidad del codominio. Finalmente, ten en cuenta que no tiene sentido hablar de un morfismo o arrow fuera del contexto de una categoría pues pierde propiedades, i.e., pierde su definición.

Durante la construcción de nuestra categoría, es usual establecer resticciones respecto a las composiciones como $(\forall f:A\to B,g:B\to A)(g\circ f=1_A\land f\circ g=1_B)$ para evitar composiciones infinitas como $f\circ g\circ f\circ g ...$ .

Para que todos estos conceptos y construcciones funcionen, es usual llevar cerca la idea de que los objetos de una categoría comparten algún tipo de estructura, de la misma manera, los morfismos suelen referirse a dichas estructuras o, en algunas casos, preservarlas.

Subcategoría:

Una categoría $\mathcal{D}$ es llamada subcategoría de una categoría $\mathcal{C}$ si

$\mathcal{O}$ b(D) $\subset \mathcal{O}$ b(C), es decir, objetos de $\mathcal{D}$ son también objetos de $\mathcal{C}$ .
Para cualesquiera objetos $X$ , $Y$ de $\mathcal{D}$ , $Mor_{\mathcal{D}}(X,Y)\subset Mor_{\mathcal{C}}(X,Y)$ .
Para cualesquiera objetos $X$ , $Y$ , $Z$ de $\mathcal{D}$ y $f\in Mor_{\mathcal{D}}(X,Y)$ , $g\in Mor_{\mathcal{D}}(Y,Z)$ , $g\circ f$ es el mismo morfismo de $X$ a $Z$ si la composición se lleva a cabo en $\mathcal{D}$ o $\mathcal{C}$ .
Para cualquier objeto $X$ de $\mathcal{D}$ , el morfismo identidad en $X$ en $\mathcal{D}$ coincide con el de $\mathcal{C}$ .

Si en la condición 2. de arriba tenemos igualdad en lugar de inclusión, entonces $\mathcal{D}$ es llamada una subcategoría completa de $\mathcal{C}$ .

Entre las conexiones con otros campos del álgebra, se tiene que toda categoría con un solo objeto es un monoide. El monoide $M$ tendría la forma $(Mor(X,X),\circ)$ , siendo $X$ el único objeto de la categoría. En otras palabras, $X:=Mor(X,X)$ . Finalmente, $\circ$ representa la composición de morfismos.

Isomorfismo:

Sea una categoría $\mathcal{C}$ cualesquiera, un morfismo $f:A\to B$ es un isomorfismo si existe un morfismo $g:A\to B$ tal que $g\circ f=1_A$ y $f\circ g=1_B$ .

Representamos esta relación como $A\cong B$ . Un automorfismo de un objeto $A$ es un isomorfismo $f:A\to A$

La definición de isomorfismo implica que los objetos asociados comparten los mismos morfimos, es decir, que si $A$ y $B$ son isomórficos y existe un morfismo $B\to X$ , entonces también existe un morfismo $A\to X$ , similarmente en el otro sentido. Esto se cumple debido a la existencia de composiciones de cualquier morfismo con los morfismos que definene el isomofismo. Por este motivo, en una categoría no es posible distinguir dos objetos isomórficos basado en sus relaciones (morfismos) con los demás.

Otro aspecto remarcable es que los grupos de automorfismos de dos objetos isomórficos son isomórficos entre ellos.

Epimorfismo:

Sea una categoría $\mathcal{C}$ cualesquiera, un morfismo $f:A\to B$ es un epimorfismo si, dado cualquier par de morfismos $g,h:B\to C$ , $g\circ f=h\circ f$ implica $g=h$ .

Los epimorfismos se pueden entender como análogos a funciones suryectivas, aunque esto no coincide en todos los contextos. La composición de dos epimorfismos es otro epimorfismo. Se debe tener en cuenta el conjunto de morfismos para determinar si un morfismo es epimorfismo o no, es decir, considerando cierto conjunto de morfismo uno podría ser o no un epimorfismo, más allá de las propiedades propias de dicho morfismo.

Monomorfismo:

Sea una categoría $\mathcal{C}$ cualesquiera, un morfismo $f:A\to B$ es un epimorfismo si, dado cualquier par de morfismos $i,j:D\to A$ , $f\circ i=f\circ j$ implica $i=j$ .

Los monomorfismos son análogos a funciones inyectivas, aunque en el contexto de categorías, se pueden encontrar morfismos que incluso siendo funciones son monomorfismos y no inyectivas.

Finalmente, por la existencia de la inversa, todo isomorfismo es también un epimorfismo y un monomorfismo. En la categoría de conjuntos, lo inverso también se cumple, es decir, si un morfismo es epi y mono, entonces también es un isomorfismo. Existe también una versión menos estricta de un isomorfismo; sea $f:A\to B$ un morfismo que tiene una inversa izquierda $g:B\to A$ tal que $g\circ f=1_A$ , entonces $f$ es un monomorfismo y $g$ , un epimorfismo.

Referencias

Joshi, K. D. (1983). Introduction to general topology. New Age International.
Jost, J. (2015). Mathematical concepts. Springer International Publishing.
Awodey, S. (2010). Category theory. Oxford university press.

Functores

Un functor $F:C\to D$ entre categorías $C$ y $D$ es un mapeo (whatever it means) de objetos a ojetos y de morfismos a morfismos, de modo que

$F(f:A\to B)=F(A)\to F(B)$ .
$F(1_A)=1_{F(A)}$ .
$F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ .

Notamos la similaridad a homomorfismos en la última condición.

Functor covariante

Sean $\mathcal{C}$ , $\mathcal{D}$ categorías. Un functor covariante $F$ de $\mathcal{C}$ a $\mathcal{D}$ es una asociación que asigna a cada objeto $X$ de $\mathcal{C}$ un objeto $F(X)$ de $\mathcal{D}$ y a cada morfismo $f:X\to Y$ en $\mathcal{C}$ , un morfismo $F(f):F(X)\to F(Y)$ en $\mathcal{D}$ de tal modo que

Para cualquier $f: X\to Y$ y $g: Y\to Z$ en $\mathcal{C}$ , $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ en $\mathcal{D}$ .
Para cualquier objeto $X$ de $\mathcal{C}$ , $F(1_X)=1_{F(X)}$ en $\mathcal{D}$ .

Estas condiciones son llamadas propiedades functoriales.

Functor contravariante

Sean $\mathcal{C}$ y $\mathcal{D}$ categorías. Un functor contravariante $F$ de $\mathcal{C}$ a $\mathcal{D}$ es una asociación que asigna a cada objeto $X$ de $\mathcal{C}$ un objeto $F(X)$ de $\mathcal{D}$ y a cada morfismo $f:X\to Y$ en $\mathcal{C}$ , un morfismo $F(f):F(Y)\to F(X)$ en $\mathcal{D}$ de tal modo que cumplen las siguientes propiedades functoriales

Para cualquier $f:X\to Y$ y $g:Y \to Z$ en $\mathcal{C}$ , $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$ .
Para cualquier objeto $X$ de $\mathcal{C}$ , $F(1_X)=1_{F(X)}$ en $\mathcal{D}$ .

Es inmediato que la composición de dos functores covariantes o dos functores contravariantes es un functor covariante, mientras que la composición de un functor covariante y un contravariantes es contravariante.

Sea $\mathcal{C}^{op}$ la categoría opuesta de $\mathcal{C}$ . Entonces, existe un functor contravariante, $I:\mathcal{C}\to \mathcal{C}^{op}$ , definido por $I(X)=X$ para todos los objetos $X$ de $\mathcal{C}$ y $I(f)=f$ para todos los morfismos $f$ . Dado cualquier functor $F$ de $\mathcal{C}$ a la categoría $\mathcal{D}$ , existe un functor único $F^{op}: \mathcal{C}^{op}\to \mathcal{D}$ tal que $F^{op}\circ I=F$ .

Claramente, $F$ es covariante si y solo si $F^{op}$ es contravariante.

Dado que las propiedades de $\mathcal{C}$ son duales a aquellas de $\mathcal{C}^{op}$ , es consecuente que las propiedades de $F$ y $F^{op}$ son duales entre ellas tanto en cuanto al rol de la categoría dominio concierne.

Functor fiel (faithful)

Es un functor inyectivo en morfismos.

Embedding

Es un functor que es inyectivo tanto en morfismos como en objetos.

Referencias

Awodey, S. (2010). Category theory. Oxford university press.
Adámek, J., Herrlich, H., & Strecker, G. E. (2004). Abstract and concrete categories. The joy of cats.
Barile, Margherita. “Faithful Functor.” From MathWorld–A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. https://mathworld.wolfram.com/FaithfulFunctor.html
Joshi, K. D. (1983). Introduction to general topology. New Age International.

Categorías Especiales

Categoría dual:

Entre las formas de construir nuevas categorías sobre otras se encuentran las categorías duales. Sea $\mathcal{C}$ cualquier categoría. Definimos su categoría dual u opuesta $\mathcal{C}^{op}$ como sigue. Los objetos de $\mathcal{C}^{op}$ son los mismos que aquellos de $\mathcal{C}$ . Sin embargo, para dos objetos $X$ y $Y$ , definimos $Mor_{\mathcal{C}^{op}}(X,Y)$ como $Mor_{\mathcal{C}}(Y,X)$ . En otras palabras, intercambiamos el dominio y codominio de cada morfismo de $\mathcal{C}$ y obtenemos un morfismo en $\mathcal{C}^{op}$ . La ley de composición también es cambiada consecuentemente. Intuitivamente, las flechas en $\mathcal{C}^{op}$ van en la dirección opuesta a aquellas de $\mathcal{C}$ .

Como un ejemplo sencillo de categoría dual, vemos que si $(X,\leq)$ es un conjunto parcialmente ordenado considerado como categoría, entonces su dual es el conjunto parcialmente ordenado $(X, \geq)$ . Estas categorías duales toman relevancia en teoremas de dualidad (principio de dualidad).

Categoría morfismo:

Una categoría morfismo o categoría arrow $\mathcal{C}^{\to}$ de una categoría $\mathcal{C}$ toma a los morfismos de $\mathcal{C}$ como objetos.

Categoría concreta:

Sea $X$ una categoría. $C$ es una categoría concretado sobre $X$ si existe un functor fiel (faithful) $F:C\to X$ .

Referencias

Adámek, J., Herrlich, H., & Strecker, G. E. (2004). Abstract and concrete categories. The joy of cats.
Joshi, K. D. (1983). Introduction to general topology. New Age International.