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Funciones y relaciones

Índice

  1. Relaciones
  2. Teorema de la función implícita
  3. Funciones

Relaciones

Una partición de un conjunto es un conjunto de subconjuntos del primero tal que para cualquier elemento de la partición, si dichos elementos son diferentes, entonces su intersección es vacía. Además, todos los elementos del conjunto inicial pertenecen a algún elemento de la partición.

Una relación de equivalencia es una relación reflexiva (), simétrica () y transitiva (). A partir de una relación de equivalencia definida en un conjunto , la clase de quivalencia de un elemento es .

Dada una relación de equivalencia en un set, su clase de equivalencia forma una partición en dicho set. Más aún, dad una partición de , si definimos una relación como entonces es una relación de equivalencia.

Referencias:

Teorema de la función implícita

Funciones

Sea una función de un conjunto a otro conjunto , denotamos . Esto implica que toma todos los elementos de y los lleva a , en otras palabras, .

Podemos tener cierta idea de igualdad de funciones como dos funciones que asocian los mismos elementos del conjunto de partida y el de llegada.

Una función parcial es una función cuyo dominio es un subconjunto del conjunto de partida. Dadas dos funciones parciales y definidas en los mismos conjuntos de partida y llegada, extiende a () si el dominio de incluye al dominio de y . Si es el dominio de , se dice que es una restricción de o (Srivastava, 2008).

Función biyectiva: Sea . Una función biyectiva es aquella que es inyectiva (1 a 1) y surjectiva (onto) a la vez. Se puede probar también que admite una inversa si y solo si es biyectiva.

Función inyectiva:

Función suryectiva:

Un importante resultado sobre composiciones de funciones establece que

Proposición (Beck & Geoghegan, 2010): Sean y conjuntos. Existe una inyección de a si y solo si existe una suryección de a .

La proposición anterior puede ser entendida en términos de la cardinalidad de cada uno de los conjuntos.

Función bien definida

Una forma elegante de decir que es función. Una función que no es bien definida simplemente no es función.

Inversa

Dada una función , decimos que tiene una función inversa si existe una función tal que y , en el primer caso, recibe el nombre de left inverse, mientras que en el segundo caso, recibe el nombre de right inverse. Si se cumple que existe una función como right inversa, entonces recibe el nombre de two-sided inverse o simplemente inversa.

Ten en cuenta de que está definida como para todo elemento de . está definido de forma análoga.

Las siguientes proposiciones son relevantes:

  1. es injectiva si y solo si tiene una left inverse.
  2. es suryectiva si y solo si tiene una right inverse.
  3. es biyectiva si y solo si tiene una inversa.

También se demuestra que si una función tiene inversa, entonces esta inversa es única y se usa la notación .

Función continua

Existen varias definiciones de continuidad y tipos de continuidad. Una definición clásica es la siguiente:

Sean y subconjuntos de espacios euclideanos, una función y . Decimos que es contínua en si para cada , existe tal que para todo para el cual . Más aún, decímos que es contínua si es contínua en todo punto de . (Buck y Buck, 1978)

Una función contínua es comúnmente llamada mapeo, aunque también se puede tomar a un mapeo como una función general y a una función se puede reservar para los sistemas de números.

Otra definición alternativa es la siguiente:

Una función de valores numéricos , definida en un conjunto , es contínua en un punto si, dado cualquier número , existe una vecindad alrededor de tal que para cada punto . La función es contínua en si es contínua en todos los puntos de (Buck, 1978).

Es importante señalar que una función preserva la convergencia si y solo si es continua. La definición anterior se centra en funciones de valóres numéricos, las cuales, no son sino un pequeño grupo de funciones. La siguiente definición corresponde a funciones de forma general.

Sea una función definida como , tal que está incluído en un espacio y está incluído en un espacio . es continua en si, dada cualquier vecindad alrededor de , existe una vecindad alrededor de tal que siempre que . La función es continua en si es continua en cada elemento (punto) de (Buck, 1978).

Continuidad uniforme

Definición: Una función es uniformemente contínua en un conjunto si y solo si, correspondiendo a cada , un número puede ser encontrado tal que siempre que y estén en y (Buck, 1978).

Teorema: (Buck, 1978) Si es un conjunto compacto y es continuo en , entonces es uniformemente contínuo en .

Si es contínua en un conjunto compacto , entonces es un conjunto compacto.

Referencias