Geometría diferencial

Curvas parametrizadas

Decimos que una función real de una variable real es diferenciable o suave si admite en todos sus puntos derivadas de todos los órdenes. Una curva parametrizada diferenciable es una aplicación diferenciable $α : I \to R^{3}$ de un intervalo abierto $I \subset R$ definida como $α (t) = (x (t), y (t), z (t))$ con cada una de las funciones coordenada diferenciables. Se dice que $t$ es el parámetro. Tenemos que $α^{'} (t) = (x^{'} (t), y^{'} (t), z^{'} (t))$ es el vector tangente o velocidad de $α$ en $t$ .

Definición: Una curva parametrizada diferenciable $α : I \to R^{3}$ se denomina regular si $α^{'} (t) \neq 0$ para todo $t \in I$ .

α^{'} (t) = 0

se dice que

t

es un punto singular de

α

. La longitud del arco de una curva parametrizada regular es

l (t) = \int_{t_{0}}^{t} | | α^{'} (t) | | d t

Recuerda que si

α

está parametrizada por longitud de arco, entonces

| α^{'} (t) | = 1

Diferenciabilidad de funciones de $R^{m}$ en $R^{n}$

Recuerda que toda función continua lleva conexos en conexos.

Definición: Sea $U \subset R^{m}$ un abierto, $f : U \to R^{n}$ , $a \in U$ y denotemos $U_{a} = {h \in R^{m} : a + h \in U}$ .
Decimos que $f$ es diferenciable en $a$ si y solo si existe $T_{a} \in L (R)$ tal que $f (a + h) = f (a) + T (h) + r_{a} (h), \forall h \in U_{a}$ en donde $lim_{h \to 0} \frac{r_{a} (h)}{| | h | |} = 0$ .
Decimos que $f$ es diferenciable en $U$ si y solo si es diferenciable en todos los puntos de $U$ .

La transformación lineal $T$ se representa por $f^{'} (a)$ cuando existe y cumple las condiciones de la definición.

Proposición

Sea $U \subset R^{m}$ abierto, $f = (f_{1}, . . ., f_{n}) : U \to R^{n}$ y $a \in U$ . $f$ es diferenciable en $a$ si y solo si $f_{1}$ ,..., $f_{n}$ son diferenciables en $a$ . En caso esto se cumpla, tendremos que $f^{'} (a) = (f_{1}^{'} (a), . . ., f_{n}^{'} (a))$

De acá se desprende como corolario que si $f$ es diferenciable en $a$ entonces es continua en $a$ . Además, si $f$ es diferenciable en un punto entonces todas las derivadas direccionales existen en dicho punto. Siendo estas definidas como $\frac{\partial f}{\partial v} (a) = lim_{t \to 0} \frac{f (a + t v) - f (a)}{t}$ cuando tal límite existe.
Luego, si $f$ es diferenciable en $a$ entonces podemos considerar la función $\begin{array}{cccc} f^{'} (a) : & R^{m} & \to & R^{n} \\ v & \mapsto & f^{'} (a) (v) = \frac{\partial f}{\partial v} (a) \end{array}$ De acá podemos encontrar la matriz asociada a la transformación lineal $f^{'} (a)$ en las base canónica ${e_{1}, . . ., e_{m}}$ de $R^{m}$ y la base canónica ${e_{1}^{'}, . . ., e_{n}^{'}}$ de $R^{n}$ . Sea $f = (f_{1}, . . ., f_{n})$ diferenciable en $a$ , sea $1 \leq i \leq m$ tenemos $f^{'} (a) (e_{i}) = \frac{\partial f}{\partial e_{i}} (a) = \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (a) = (\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{i}} (a), . . ., \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{i}} (a))$ Entonces esta será la $i$ -ésima columna de la matriz asociada. La matriz resultante es la matriz Jacobiana que se denota por $J f (a)$ y también como $d f_{a}$ llamada como la diferencial de $f$ en el punto $a$ . Esta matriz tiene por filas a los gradientes de las funciones coordenada $f_{i}$ y como columnas a los vectores que calculamos anteriormente.

Proposición

Sea $f : U \subset R^{n} \to R$ una aplicación diferenciable definida sobre un conjunto abierto y conexo $U$ de $R^{n}$ . Si $d f_{p} : R^{n} \to R$ es cero (función cero) en cada punto $p \in U$ . Entonces $f$ es constante en $U$ .

Demostracion. Sea

p \in U

y sea

B_{δ} (p) \subset U

una bola abierta. Cualquier punto

q \in B_{δ} (p)

puede unirse a

p

mediante un segmento de recta pues las bolas son conjuntos convexos. En efecto, sea

β : [0, 1] \to U

definida como

β (t) = t q + (1 - t) p

. Como

U

es abierto, podemos extender

β

al intervalo abierto

(0 - ϵ, 1 + ϵ)

. Ahora compones esta función con

f

, es decir

f \circ β : (0 - ϵ, 1 + ϵ) \to R

de acá que aplicando la regla de la cadena generalizada

d (f \circ β)_{t} = d f_{β (t)} d β_{t} \equiv 0

pues

d f_{v} \equiv 0

para todo

v \in U

. Entonces como

f \circ β

es una función real de valores reales,

\frac{d (f \circ β)}{d t} = 0 \forall t \in (0 - ϵ, 1 + ϵ)

Sabemos que por estar definida en un intervalo (conjunto abierto conexo) la función

f \circ β

es constante. Pero como

β (0) = p

β (1) = q

, entonces

f (p) = f (q)

para todo

q \in B_{δ} (p)

.
Ahora, sea un punto arbitrario

r \in U

, como

U

es abierto y conexo, es conexo por caminos. Luego que existe un camino que une a

r

con

p

. Sea

α : [a, b] \to U

este camino continuo con

α (a) = p

α (b) = r

. Ahora, para cada

t \in [a, b]

existe un intervalo

I_{t}

abierto en

[a, b]

tal que

f \circ α

es constante en este intervalo. Como

[a, b] = ⋃_{t \in [a, b]} I_{t}

, entonces el teorema de Heine-Borel nos dice que existe una subcobertura finita

[a, b] = ⋃_{s = 1}^{n} I_{s}

. Ahora, como los intervalos son todos abiertos en

[a, b]

es necesario que tengan intersecciones. Se sigue que

f \circ α

es constante en

[a, b]

, concluímos que

f (r) = f (p)

para todo

r \in U

Teorema de la función inversa

Sea $F : U \subset R^{n} \to R^{n}$ una aplicación diferenciable y supóngase que en $p \in U$ la diferencial $d F_{p} : R^{n} \to R^{n}$ es un isomorfismo. Entonces existe un entorno $V$ de $p$ en $U$ y un entorno $W$ de $F (p)$ en $R^{n}$ tal que $F : V \to W$ tiene una inversa diferenciable.

Teorema de la función implícita

Sea $U \subset R^{n + m} = R^{n} \times R^{m}$ un conjunto abierto, $F : U \to R^{m}$ una aplicación diferenciable y $(p, q) \in U$ tales que $F (p, q) = c \in R^{m}$ . Si la restricción de $d F_{(p, q)}$ a ${0_{R^{n}}} \times R^{m}$ es un isomorfismo sobre $R^{m}$ existirán abiertos $V \subset U$ y $A \subset R^{n}$ tal que $(p, q) \in V$ y $p \in A$ que cumplen las siguientes condiciones

Para todo $x \in A$ existe un único $y = ε (x) \in R^{m}$ tal que $(x, ε (x)) \in V y F (x, ε (x)) = c$

La aplicación $\begin{array}{cccc} ε : & A \subset R^{n} & \to & R^{m} \\ x & \mapsto & ε (x) \end{array}$ es diferenciable.

Es sabido que los dos teoremas anteriores son equivalentes.

Superficies Regulares

Una superficie regular se botinee tomando trozos de un plano, deformándolos y disponiéndolos de modo que la figura resultante no tenga esquinas ni autointersecciones.

Definición: Un subconjunto $S \subset R^{3}$ es una superficie regular si para cada $p \in S$ existe un entorno $V$ en $R^{3}$ y una aplicación $X : U \to V \cap S$ de un subconjunto abierto $U$ de $R^{2}$ de modo que

$X$ es diferenciable, es decir, si $X (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v))$ , las funciones coordenadas $x, y, z$ tienen derivadas parciales continuas de todos los órdenes en $U$ .

$X$ es un homeomorfismo, es decir, es continua y admite inversa $X^{- 1}$ que sea la restricción de una función continua. En otras palabras, $X^{- 1} : V \cap S \to U$ es la restricción de $F : W \subset R^{3} \to R^{2}$ de modo que $W$ es abierto y $V \cap S \subset W$ .

Condición de regularidad. $\forall q \in U, d X_{q} : R^{2} \to R^{3}$ es inyectiva. $d X_{q}$ es la diferencial de $X$ en $q$ .

Se dice que

X

es un sistema local de coordenadas en torno a

p

V \cap S

es un entorno coordenado. La condición de regularidad garantiza que exista un plano tangente a todos los puntos

p \in S

. Como observación importante, tenemos que

d X_{q} = (\begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} \end{matrix})

entonces

d X_{q}

es inyectiva si y solo si las dos columnas son linealmente independientes. Si y solo si

\frac{\partial X}{\partial u} \times \frac{\partial X}{\partial v} \neq 0_{R^{3}}

. Esto se cumple cuando cualquiera de los determinantes jacobianos

\frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)}

\frac{\partial (y, z)}{\partial (u, v)}

\frac{\partial (x, z)}{\partial (u, v)}

sean distintos de 0 simultaneamente.
Muchas veces es conveniente parametrizar la esfera

S^{2}

con coordenadas geograficas. Sea

V = {(θ, ϕ) : 0 < θ < π, 0 < ϕ < 2 π}

definimos

X : V \to R^{3}

como

X (θ, ϕ) = (s e n θ c o s ϕ, s e n θ s e n ϕ, c o s θ)

Proposición

Si $f : U \subset R^{2} \to R$ es una función diferenciable sobre el conjunto $U$ abierto. Entonces la gráfica de $f$ , es decir $G (f) = {(x, y, f (x, y)) : (x, y) \in U}$ es una superficie regular.

Proposición

Si $f : U \subset R^{3} \to R$ es una función diferenciable y $a \in f (U)$ es un valor regular de $f$ , entonces $f^{- 1} (a)$ es una superficie regular de $R^{3}$ .

Recordamos que $a \in f (U)$ es un valor regular si y solo si $f_{x}, f_{y}, f_{z}$ no se anulan simultaneamente en cualquier punto de la imagen inversa de $a$ , es decir, en el conjunto $f^{- 1} (a) = {(x, y, z) \in U : f (x, y, z) = a}$ .

Proposición

Sea $S \subset R^{3}$ una superficie regular y $p \in S$ . Entonces existe un entorno $V$ de $p \in S$ tal que $V$ es la gráfica de una función diferenciable que tiene una de las tres formas $z = f (x, y)$ , $y = g (x, z)$ o $x = h (y, z)$ .

Ahora, si ya sabemos que $S$ es una superficie regular y tenemos un candidato como parametrización, no tenemos que comprobar que su inversa es conitnua se las demás condiciones se cumplen.

Proposición

Sea $p \in S$ un punto de una superficie regular $S$ y sea $X : U \subset R^{2} \to R^{3}$ una aplicación con $p \in X (U) \subset S$ que cumple las condiciones 1 y 3 de la definición de superficies regulares. Si $X$ es inyectiva entonces $X^{- 1}$ es continua.

Proposición

Sea $V$ un subconjunto de una superficie regular $S$ , $V$ es una superficie regular si y solo si $V$ es un abierto en $S$ .

Proposición

Cambio de parámetros. Sea $p$ un punto de una superficie regular $S$ y sean $X : U \subset R^{2} \to S$ $Y : V \subset R^{2} \to S$ Dos parametrizaciones de $S$ tal que $p \in X (U) \cap Y (V) = W$ . Entonces el cambio de coordenadas $h = X^{- 1} \circ Y : Y^{- 1} (W) \to X^{- 1} (W)$ es un difeomorfismo, es decir, $h$ es diferenciable y tiene inversa diferenciable.

Tenemos que

h = X^{- 1} \circ Y

es un homeomorfismo por ser composición de homeomorfismos. Sea

r \in Y^{- 1} (W)

q = h (r)

, como

X

es una parametrización, podemos suponer cambiando el nombre de los ejes de ser necesario que

X (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v))

donde

\frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} (q) \neq 0

Ahora, vamos a extender

X

a una aplicación

F : U \times R \to R^{3}

definida por

F (u, v, t) = (x (u, v), y (u, v, z (u, v) + t))

como

X

es diferenciable,

F

es diferenciable, además, con cierto abuso de notación, podemos decir que

F_{| U \times {0}} = X

, ahora

d F_{q} = | \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & 0 \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & 0 \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & 1 \end{matrix} | = \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} (q) \neq 0

Entonces podemos el teorema de la función inversa, luego existe

M

vecindad de

p = X (q)

R^{3}

tal que

F^{- 1}

existe y es diferenciable en

M

. Por la continuidad de

Y

, existe un entorno

N

r

V

tal que

Y (N) \subset M

. (Esta es una propiedad de funciones.) Luego como

h_{| N} = F^{- 1} \circ Y_{| N}

, vemos que

h

es la composición de funciones diferenciables. Un argumento análogo prueba que

h^{- 1}

es diferenciable.

Definición: Sea $F : V \subset S \to R$ una función definida en $V$ abierto y $S$ superficie regular. Se dice que $f$ es diferenciable en $p \in V$ si para alguna parametrización $X : U \subset R^{2} \to S$ con $p \in X (U) \subset V$ , la composición $f \circ X : U \subset R^{2} \to R$ es diferenciable en $X^{- 1} (p)$ . $f$ es diferenciable en $V$ si es diferenciable en todos los puntos de $V$ .

Observe que esta definición es independiente de parametrizaciones. Analogamente podemos definir diferenciabilidad de funciones entre superficies, sea $ϕ : V_{1} \subset S_{1} \to S_{2}$ Con $V_{1}$ abierto. Decimos que $ϕ$ es diferenciable en $p \in V_{1}$ si dadas las parametrizaciones $X_{1} : U_{1} \subset R^{2} \to S_{1}$ $X_{2} : U_{2} \subset R^{2} \to S_{2}$ con $p \in X_{1} (U_{1})$ y $ϕ (X_{1} (U_{1})) \subset X_{2} (U_{2})$ . La aplicación $X_{2}^{- 1} \circ ϕ \circ X_{1} : U_{1} \to U_{2}$ es diferenciable en $q = X_{1}^{- 1} (p)$ . Se dice que dos superficies regulares $S_{1}$ y $S_{2}$ son difeomorfas si existe una aplicación diferenciable $ϕ : S_{1} \to S_{2}$ con inversa diferenciable. Desde el punto de vista de la diferenciabilidad, dos superficies difeomorfas son indistinguibles. Sin mayor dificultad puedes encontrar que toda superficie regular es localmente difeomorfa a un plano.

El plano tangente

Por un vector tangente a $S$ en $p \in S$ entendermos el vector tangente $α^{'} (0)$ de una curva parametrizada diferenciable $α : (- ϵ, ϵ) \to S$ con $α (0) = p$ .

Proposición

Sea $X : U \subset R^{2} \to S$ una parametrización de una superficie regular $S$ y sea $q \in U$ . El subespacio vectorial de dimensión 2 $d X_{q} (R^{2}) \subset R^{3}$ coincide con el conjunto de vectores tangentes a $S$ en $X (q)$ .

De acá que denotamos

d X_{q} (R^{2}) = T_{p} (S)

x (q) = p

Referencias

Renato Benazic (2024) Análisis Real 2.
Manfredo P. do Carmo (1995) Geometría diferencial de curvas y superficies. Traducido por José Claudio Sabina de Lis.
Ronaldo Freire de Lima (2016) Introdução à Geometria Diferencial.

El contenido de está entrada ha sido parcialmente redactado por F. Peña-Garcia y parcialmente recopilado y traducido de los textos que se listan en las referencias. No reclamo derechos intelectuales sobre cualquier parte del texto incluso si es enteramente de mi autoría puesto que el contenido teórico que es acá desarrollado es patrimonio de la humanidad.
Esta página web existe gracias a GitHub, $L A T E X$ y $M a t h J a x$ .

Geometría diferencial

Curvas parametrizadas

Diferenciabilidad de funciones de Rm en Rn

Proposición

Proposición

Teorema de la función inversa

Teorema de la función implícita

Superficies Regulares

Proposición

Proposición

Proposición

Proposición

Proposición

Proposición

El plano tangente

Proposición

Referencias

Diferenciabilidad de funciones de $R^{m}$ en $R^{n}$