Decimos que una función real de una variable real es diferenciable o suave si admite en todos sus puntos derivadas de todos los órdenes. Una curva parametrizada diferenciable es una aplicación diferenciable \( \alpha:I\to \mathbb{R}^3\) de un intervalo abierto \( I\subset \mathbb{R}\) definida como \( \alpha(t)=(x(t),y(t),z(t)) \) con cada una de las funciones coordenada diferenciables. Se dice que \( t\) es el parámetro. Tenemos que \( \alpha'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)) \) es el vector tangente o velocidad de \( \alpha\) en \(t \).
Definición: Una curva parametrizada diferenciable \( \alpha:I\to \mathbb{R}^3\) se denomina regular si \( \alpha'(t)\neq 0\) para todo \( t\in I\).Si \( \alpha'(t)=0\) se dice que \( t\) es un punto singular de \( \alpha\). La longitud del arco de una curva parametrizada regular es \[ l(t)=\int_{t_0}^t ||\alpha'(t)||dt \] Recuerda que si \( \alpha\) está parametrizada por longitud de arco, entonces \( |\alpha'(t)|=1\).
Definición: Sea \( U\subset \mathbb{R}^m\) un abierto, \(f:U\to\mathbb{R}^n\), \(a\in U \) y denotemos \(U_a=\{\ h\in \mathbb{R}^m :a+h\in U \}\).
Decimos que \(f\) es diferenciable en \( a\) si y solo si existe \(T_a\in\mathcal{L}(\mathbb{R})\) tal que \[ f(a+h)=f(a)+T(h)+r_a(h), \forall h\in U_a \] en donde \( \lim_{h\to 0}\frac{r_a(h)}{||h||}=0\).
Decimos que \( f\) es diferenciable en \( U\) si y solo si es diferenciable en todos los puntos de \( U\).
La transformación lineal \( T\) se representa por \( f'(a)\) cuando existe y cumple las condiciones de la definición.
Sea \( U\subset \mathbb{R}^m\) abierto, \( f=(f_1,...,f_n):U\to \mathbb{R}^n\) y \( a\in U\). \( f\) es diferenciable en \( a\) si y solo si \( f_1\),...,\( f_n\) son diferenciables en \( a\). En caso esto se cumpla, tendremos que \[ f'(a)=(f_1'(a),...,f_n'(a)) \]
De acá se desprende como corolario que si \( f\) es diferenciable en \( a\) entonces es continua en \( a\). Además, si \(f \) es diferenciable en un punto entonces todas las derivadas direccionales existen en dicho punto. Siendo estas definidas como
\[
\frac{\partial f}{\partial v}(a)=\lim_{t\to 0} \frac{f(a+tv)-f(a)}{t}
\]
cuando tal límite existe.
Luego, si \( f\) es diferenciable en \( a\) entonces podemos considerar la función
\[
\begin{array}{cccc}
f'(a):&\mathbb{R}^m&\to&\mathbb{R}^n\\
&v&\mapsto&f'(a)(v)=\frac{\partial f}{\partial v}(a)
\end{array}
\]
De acá podemos encontrar la matriz asociada a la transformación lineal \( f'(a)\) en las base canónica \( \{e_1,...,e_m\}\) de \( \mathbb{R}^m\) y la base canónica \( \{e_1',...,e_n'\}\) de \( \mathbb{R}^n\). Sea \( f=(f_1,...,f_n)\) diferenciable en \( a\), sea \( 1\leq i\leq m\) tenemos
\[
f'(a)(e_i)=\frac{\partial f}{\partial e_i}(a)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)=\left( \frac{\partial f_1}{\partial x_i}(a),...,\frac{\partial f_n}{\partial x_i}(a) \right)
\]
Entonces esta será la \( i\)-ésima columna de la matriz asociada. La matriz resultante es la matriz Jacobiana que se denota por \( Jf(a)\) y también como \( df_a\) llamada como la diferencial de \( f\) en el punto \( a\)
. Esta matriz tiene por filas a los gradientes de las funciones coordenada \( f_i\) y como columnas a los vectores que calculamos anteriormente.
Sea \( f:U\subset \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) una aplicación diferenciable definida sobre un conjunto abierto y conexo \( U\) de \( \mathbb{R}^n\). Si \( df_p:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) es cero (función cero) en cada punto \( p\in U\). Entonces \( f\) es constante en \( U\).
Sea \( F:U\subset \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n\) una aplicación diferenciable y supóngase que en \( p\in U\) la diferencial \( dF_p:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n\) es un isomorfismo. Entonces existe un entorno \( V\) de \( p\) en \( U\) y un entorno \( W\) de \( F(p)\) en \( \mathbb{R}^n\) tal que \( F:V\to W\) tiene una inversa diferenciable.
Sea \( U\subset \mathbb{R}^{n+m}=\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m\) un conjunto abierto, \( F:U\to \mathbb{R}^m\) una aplicación diferenciable y \( (p,q)\in U\) tales que \( F(p,q)=c\in \mathbb{R}^m\). Si la restricción de \( dF_{(p,q)}\) a \( \{0_{\mathbb{R}^n}\}\times \mathbb{R}^m\) es un isomorfismo sobre \( \mathbb{R}^m\) existirán abiertos \( V\subset U\) y \( A\subset \mathbb{R}^n\) tal que \( (p,q)\in V\) y \( p\in A\) que cumplen las siguientes condiciones
- Para todo \(x\in A\) existe un único \( y=\varepsilon(x)\in \mathbb{R}^m\) tal que \[ (x,\varepsilon(x))\in V \hspace{10pt}y\hspace{10pt}F(x,\varepsilon(x))=c \]
- La aplicación \begin{equation*} \begin{array}{cccc} \varepsilon:&A\subset \mathbb{R}^n&\to&\mathbb{R}^m\\ &x&\mapsto&\varepsilon(x) \end{array} \end{equation*} es diferenciable.
Es sabido que los dos teoremas anteriores son equivalentes.
Una superficie regular se botinee tomando trozos de un plano, deformándolos y disponiéndolos de modo que la figura resultante no tenga esquinas ni autointersecciones.
Definición: Un subconjunto \( S\subset \mathbb{R}^3\) es una superficie regular si para cada \( p\in S\) existe un entorno \( V\) en \( \mathbb{R}^3\) y una aplicación \( X:U\to V\cap S\) de un subconjunto abierto \( U\) de \( \mathbb{R}^2\) de modo queSe dice que \( X\) es un sistema local de coordenadas en torno a \( p\) y \( V\cap S\) es un entorno coordenado. La condición de regularidad garantiza que exista un plano tangente a todos los puntos \( p\in S\). Como observación importante, tenemos que \[ dX_q= \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} \end{pmatrix} \] entonces \( dX_q\) es inyectiva si y solo si las dos columnas son linealmente independientes. Si y solo si \( \frac{\partial X}{\partial u}\times \frac{\partial X}{\partial v} \neq 0_{\mathbb{R}^3}\). Esto se cumple cuando cualquiera de los determinantes jacobianos \( \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\), \( \frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}\) o \( \frac{\partial (x,z)}{\partial (u,v)}\) sean distintos de 0 simultaneamente.
- \(X\) es diferenciable, es decir, si \( X(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\), las funciones coordenadas \( x,y,z\) tienen derivadas parciales continuas de todos los órdenes en \( U\).
- \(X\) es un homeomorfismo, es decir, es continua y admite inversa \( X^{-1}\) que sea la restricción de una función continua. En otras palabras, \( X^{-1}:V\cap S \to U\) es la restricción de \( F:W\subset \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2\) de modo que \( W\) es abierto y \( V\cap S\subset W\).
- Condición de regularidad. \( \forall q\in U,dX_q:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3\) es inyectiva. \( dX_q\) es la diferencial de \( X\) en \( q\).
Si \( f:U\subset \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\) es una función diferenciable sobre el conjunto \( U\) abierto. Entonces la gráfica de \( f\), es decir \[ G(f)=\{(x,y,f(x,y)):(x,y)\in U\} \] es una superficie regular.
Si \( f:U\subset \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}\) es una función diferenciable y \( a\in f(U)\) es un valor regular de \( f\), entonces \( f^{-1}(a)\) es una superficie regular de \( \mathbb{R}^3\).
Recordamos que \( a\in f(U)\) es un valor regular si y solo si \( f_x,f_y,f_z\) no se anulan simultaneamente en cualquier punto de la imagen inversa de \( a\), es decir, en el conjunto \( f^{-1}(a)=\{(x,y,z)\in U: f(x,y,z)=a\}\).
Sea \( S\subset \mathbb{R}^3\) una superficie regular y \( p\in S\). Entonces existe un entorno \( V\) de \( p\in S\) tal que \( V\) es la gráfica de una función diferenciable que tiene una de las tres formas \( z=f(x,y)\), \( y=g(x,z)\) o \( x=h(y,z)\).
Ahora, si ya sabemos que \( S\) es una superficie regular y tenemos un candidato como parametrización, no tenemos que comprobar que su inversa es conitnua se las demás condiciones se cumplen.
Sea \( p\in S\) un punto de una superficie regular \( S\) y sea \(X:U\subset \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3 \) una aplicación con \( p\in X(U)\subset S\) que cumple las condiciones 1 y 3 de la definición de superficies regulares. Si \( X\) es inyectiva entonces \( X^{-1}\) es continua.
Sea \( V\) un subconjunto de una superficie regular \( S\), \( V\) es una superficie regular si y solo si \( V\) es un abierto en \( S\).
Cambio de parámetros. Sea \( p\) un punto de una superficie regular \( S\) y sean \[ X:U\subset \mathbb{R}^2 \to S \] \[ Y:V\subset \mathbb{R}^2 \to S \] Dos parametrizaciones de \( S\) tal que \( p \in X(U)\cap Y(V)=W \). Entonces el cambio de coordenadas \[ h=X^{-1}\circ Y:Y^{-1}(W) \to X^{-1}(W) \] es un difeomorfismo, es decir, \( h\) es diferenciable y tiene inversa diferenciable.
Definición: Sea \( F:V\subset S \to \mathbb{R}\) una función definida en \( V\) abierto y \( S\) superficie regular. Se dice que \( f\) es diferenciable en \( p\in V\) si para alguna parametrización \( X:U\subset \mathbb{R}^2\to S\) con \( p\in X(U)\subset V\), la composición \( f\circ X:U\subset \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\) es diferenciable en \( X^{-1}(p)\). \( f\) es diferenciable en \( V\) si es diferenciable en todos los puntos de \( V\).
Observe que esta definición es independiente de parametrizaciones. Analogamente podemos definir diferenciabilidad de funciones entre superficies, sea \[ \phi:V_1\subset S_1\to S_2 \] Con \( V_1\) abierto. Decimos que \( \phi\) es diferenciable en \( p\in V_1\) si dadas las parametrizaciones \[ X_1:U_1\subset \mathbb{R}^2\to S_1 \] \[ X_2:U_2\subset \mathbb{R}^2\to S_2 \] con \( p\in X_1(U_1)\) y \( \phi(X_1(U_1))\subset X_2(U_2)\). La aplicación \[ X_2^{-1}\circ \phi \circ X_1 :U_1\to U_2 \] es diferenciable en \(q=X_1^{-1}(p) \). Se dice que dos superficies regulares \( S_1\) y \( S_2\) son difeomorfas si existe una aplicación diferenciable \( \phi:S_1\to S_2\) con inversa diferenciable. Desde el punto de vista de la diferenciabilidad, dos superficies difeomorfas son indistinguibles. Sin mayor dificultad puedes encontrar que toda superficie regular es localmente difeomorfa a un plano.
Por un vector tangente a \( S\) en \( p\in S\) entendermos el vector tangente \( \alpha'(0)\) de una curva parametrizada diferenciable \( \alpha:(-\epsilon,\epsilon)\to S\) con \( \alpha(0)=p\).
Sea \( X:U\subset \mathbb{R}^2\to S\) una parametrización de una superficie regular \( S\) y sea \( q\in U\). El subespacio vectorial de dimensión 2 \[ dX_q(\mathbb{R}^2)\subset \mathbb{R}^3 \] coincide con el conjunto de vectores tangentes a \( S\) en \( X(q)\).De acá que denotamos \( dX_q(\mathbb{R}^2)=T_p(S)\), \( x(q)=p\).
El contenido de está entrada ha sido parcialmente redactado por F. Peña-Garcia y parcialmente recopilado y traducido de los textos que se listan en las referencias. No reclamo derechos intelectuales sobre cualquier parte del texto incluso si es enteramente de mi autoría puesto que el contenido teórico
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