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Biomatemática Avanzada

Se recomienda al lector leer la introducción de Teoría de conjuntos antes de revisar esta sección.

Índice

  1. Estructuras algebraicas: Grupos
  2. Látices y orden
  3. Estructuras naturales

Estructuras algebraicas: Grupos

Un Sistema Algebraico puede ser descrito como un conjunto de objetos junto con algunas operaciones para combinarlas (Herstein, 1975).

Álgebra abstracta

Terminada nuestra (muy) breve introducción a Teoría de conjuntos inciaremos la discusión de los principales campos de Álgebra abstracta. El objeto de estudio del Álgebra abstracta será más general y rico que el de Álgebra elemental, brevemente, podemos decir que se ocupa del estudio de estructuras algebraicas y sus propiedades. La definición de estructura algebraica es más específica que la de sistema algebraico; una estructura algebraica es un conjunto en el que están definidas operaciones binarias. Es importante resaltar que las operaciones binarias se definen con axiomas. Según el número de operaciones binarias definidas en ellos, las estructuras algebraicas se clasifican en:

En esta lección, nos enfocaremos en Grupos y Anillos.

Grupos

Una operación binaria o ley de composición en un conjunto puede entenderse como una función que lleva cada par del conjunto a un elemento del conjunto ; el elemento asignado al par se conoce como composición de y y se suele representar como o . De este modo, asociamos al conjunto con la operación binaria definida en este en un dupla , esta es la definición de grupo. Este cumple con los siguientes axiomas:

Existe una condición adicional llamada conmutatividad, definida como . Los grupos que cumplan con esta condición son llamados grupos abelianos o conmutativos, los que no cumplen la condición son llamados no abelianos o no conmutativos.

A partir de esta colección de axiomas, se pueden probar ciertas propiedades, una de ellas es la unicidad del elemento identidad, es decir, existe un solo elemento en que funciona como elemento identidad de todos los elementos del conjunto . Otra proposición que se prueba es que las inversas () son únicas para cada elemento, es decir, si dos elementos tienen la misma inversa entonces estos son los mismos elementos.

Proposición: Si y son elementos de , entonces y tienen soluciones únicas en .

Esta proposición es usualmente asumida en Álgebra elemental. Finalmente, los grupos respetan las leyes de exponentes usuales.

Un subgrupo de un grupo es un subconjunto de que es cerrado bajo la operación . El subgrupo más pequeño o subgrupo trivial es aquel que tiene como único elemento al elemento identidad. A continuación, una definición de subgrupos dada como proposición en (Judson, 2017):

Proposición: Un subconjunto de es un subgrupo si y solo si cumple las siguientes condiciones.

  1. La identidad de está en .
  2. Si .
  3. Si .

A continuación, hablaremos sobre un tipo especial de subgrupo: el subgrupo cíclico. Un subgrupo cíclico tiene una estructura particular, en él, conociendo a un elemento se pueden determinar los demás elementos, es decir, ese elemento actúa como generador del resto de elementos. La definición de subgrupo cíclico es la siguiente.

Proposición: Un conjunto de la forma donde es cualquier elemento de es un subgrupo de .

Demostración: El elemento identidad está en ya que , la composición de dos elementos de tendrá la forma , esto es equivalente a , por definición del grupo , por lo que lo reemplazaremos por , ahora , análogamente, sería equivalente a un , siendo algún elemento de ; esta última expresión cumple con la definición del conjunto por lo que está incluído en él. Para la existencia de la inversa de todos sus elementos considera que si entonces también su composición y también la inversa de su composición, por lo tanto , llamemos a este elemento como , si pertenece a entonces también lo hace, llamemos a este último elemento como . Ahora, los elementos de tienen la forma general , siendo cualquier elemento de , ya que es un elemento de , entonces , operando este elemento, se prueba que .

Si contiene un elemento que lo genere entonces es un grupo cíclico. Se prueba que todo grupo cíclico es abeliano; también se prueba que todos los subgrupos de un grupo.

Ahora hablaremos de grupos de permutación, los cuales son clave para el estudio de simetría. Una permutación es un mapeo biyectivo . De forma general, las permutaciones de un set forman un grupo , el cual es llamado grupo simétrico. Los subgrupos de son llamados grupos de permutación.

Las permutaciones se suelen representar de la siguiente manera. Para un conjunto con elementos , una permutación es la siguiente

Lo cual permuta con , con , y así sucesivamente. Finalmente, la composición de permutaciones no suele ser conmutativa.

El último tipo de grupo que veremos es el grupo dihedral. Un grupo dihedral es aquel que se forma de las permutaciones rígidas de un polígono. Dentro de sus elementos se tendrán solo rotaciones o reflexione, todas ellas respetan la vecindad de los vértices del polígono. De forma análoga, se puede establecer el grupo de movimientos rígidos de poliedros como cubos.

Finalmente, podemos incluir otras estructuras compatibles con la ley de combinación.

Lo opuesto también puede ser logrado, si relajamos algunos de los axiomas que definen a un grupo obtenemos las siguientes estructuras similares a grupos.

Hablaremos un poco de Magmas y Monoides. Un magma es un conjunto asociado con una ley de composición interna, se cumple que el conjunto es cerrado bajo la ley de composición, esta condición es compartida con el resto de estructuras similares a grupos y grupos, excepto por semigrupoides. Expresada en lógica, la condición es la siguiente: siendo un magma, . Un monoide, además de la condición mencionada, cumple con la asociatividad de la ley de composición y la existencia del elemento identidad.

Continuamos con el Teorema de Lagrange, uno de los teoremas más importantes de la teoría de grupos finitos. Primero es necesario definir el concepto de coset. Sea un grupo y un subgrupo de este. Un coset izquierdo (o derecho) de es un set (o ) dado . Note que en algunos casos, el coset izquierdo y derecho serán el mismo conjunto. También se prueba que los cosets izquierdos (y derechos) forman una patición del grupo, y que el número de cosets izquierdos y derechos de un subgrupo es el mismo.

Entre y su coset izquierdo se puede definir un mapan bijectivo , con . Definimos como el número de cosets izquierdos de en . Esto recibirá el nombre de índice de en .

Teorema de Lagrange: (Judson, 2017) Sea un grupo finito y un subgrupo de este, se cumple que es el número de cosets izquierdos distintos de en . En particular, el número de elementos de debe dividir el número de elementos en .

Un corolario importante de este teorema es que si un grupo finito tiene un número primo de elementos entonces es cíclico y cualquier elemento distinto al identidad es un generador.

Un subgrupo de un grupo es normal en si para todo elemento de , es decir, sus cosets derecho e izquierdo son iguales. Esto es facil de ver en un grupo abeliano. Si un grupo tiene únicamente grupos normales triviales, este grupo se llama grupo simple, y todos los grupos simples no abelianos tienen orden par.

A continuación, hablaremos de los grupos cociente o factor. Sea un subgrupo de , el conjunto formado por todos los cosets (izquierdos o derechos, no ambos a menos que sean iguales) de en forman un grupo llamado grupo cociente, este grupo tiene como operación a . Observe que los elementos de son subconjuntos de . Este grupo () tiene como orden a , como es evidente.

Referencias

Látices y orden

Empezamos esta sección con una nota sobre conjuntos parcialmente ordenados o posets. Un orden parcial en un conjunto es una relación binaria entre elementos de que satisface lo siguiente.

La primera condición recibe el nombre de reflexividad, la segunda, transitividad, y la tercera, antisimetría. Una relación de orden también puede cumplir que , si se cumple esta condición, la relación se dice que es un orden lineal o total. De este modo, un conjunto asociado a un orden parcial se llama conjunto parcialmente ordenado o poset, y un conjunto asociado a un orden total se llama conjunto linealmente ordenado o totalmente ordenado.

Cuando un conjunto totalmente ordenado es subconjunto (subposet) de un poset, recibe el nombre de cadena. Una anticadena () está definida por la siguiente condición, . Si una relación de orden solo cumple 1. y 2., se conoce como preorden, y al objeto matemático asociado se lo conoce como conjunto preordenado. Nuevamente, es posible identificar un subconjunto dentro de este objeto que cumpla condiciones adicionales (como 3.), esto puede ser logrado al definir una clase de equivalencia dentro del conjunto asociada al preorden (). En algunos casos, identificar esta relación puede ser muy importante para el estudio.

Respecto a la notación, solemos usar los siguientes símbolos para referirnos a la relación de orden (y preorden).

El símbolo se reserva para el caso .

Se puede generar un conjunto ordenado a partir de otro mediante el orden dual u orden opuesto. Dado, un poset, entonces también es un conjunto odenado si se cumple que . Otra forma de representar es mediante los símbolos o .

Ten en cuenta que todo poset puede ser representado como una colección de sets ordenados por la relación de inclusión.

Un conjunto linealmente ordenado es llamado orden denso si para cada , existe un tal que . Dos conjuntos linealmente ordenados son llamados isomórficos en orden o, simplemente, isomórficos si existe un mapeo biyectivo de uno a otro.

A continuación definiremos otros conjuntos importantes en el estudio de posets. Para cualquier en , definiremos

Sea , definimos los siguientes conjuntos llamados down-set y up-set de , respectivamente.

Una forma de usar estos conceptos es para definir minimales y maximales. Si es un up-set, entonces es maximal, si es un down-set, entonces es minimal. La relación inversa también se cumple para ambos. Ahora, definiremos lower bound (límite inferior) y upper bound (límite superior) de un subset , dado . es un límite inferior de si ; de forma análoga, es un límite superior de si . Note que, en estas definiciones, no es necesario que . Algunos autores definen y como los conjuntos de lower bounds y upper bounds de .

A continuación hablaremos de conjuntos direccionados. Comunmente, se define como un conjunto asociado con una relación que es reflexiva, transitiva, y cumple que . Esta relación definida se conoce como orden dirigido. También se puede expresar como aquel subconjunto de () en el que cada subconjunto finito tiene un upper bound en él; así, el conjunto se dice que es up-directed.

El supremo de un subconjunto es el menor límite superior de o, en inglés, el least upper bound. El ínfimo de es el mayor límite inferior de o el greatest lower bound, en inglés. Un subconjunto cualquiera no siempre tiene supremo e ínfimo, pero, si los tiene, son únicos.

Expresado en lógica, es el supremo de si

Análogamente, es el ínfimo de si

El supremo también recibe el nombre de join de y el ínfimo recibe el nombre de meet de . La notación de supremo es o , también se puede usar como operador binario para subconjuntos finitos ( para el conjunto ). Por otro lado, se denota o al ínfimo de , también se puede usar la notación de operador binario .

Semilátices y Látices

Un poset es llamado un meet-semilátice (o join-semilátice) si existe un ínfimo (o ) para cualquier .

Un poset es un látice si existe un ínfimo y supremo para cualquier . Un látice acotado (también llamado látice con 0 y 1) es un poset que tiene un elemento mayor y un elemento menor. Donde, es el elemento mayor de si , el elemento menor se define análogamente. Un lattice es completo si todos sus subconjuntos tienen supremo e ínfimo.

Teorema del punto dijo de Knaster-Tarski: Sea un látice completo, entonces cada mapeo monótono tiene un punto fijo tal que .

Una función monótona no decreciente es tal que si entonces , una función monótona no creciente es aquella en la que si entonces . El término mapeo monótono se puede referir a cualquiera de los dos casos.

Demostración del teorema del punto fijo: (Picado y Pultr, 2011) Sea y . Si entonces y, así, . Así, es un límite superior de ; por lo tanto , por lo tanto, .

Por lo tanto, si , entonces y así de modo que . Por lo tanto, , concluímos que .

Referencias