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Biomatemática

Curso introductorio a la Biomatemática. Se muestran aplicaciones básicas de teorías matemáticas de fácil entendimiento.

Índice

Introducción a la Biomatemática
Ecuaciones de Diferencia Lineales
Ecuaciones de Diferencia No Lineales

Introducción a la Biomatemática

El desarrollo histórico de la Biomatemática tiene sus raíces en los desarrollos matemáticos de Georg Cantor (1845-1918) acerca de los números naturales. La Biología o, mejor dicho, el fenómeno biológico es, de forma recurrente, una fuente de inspiración para el desarrollo matemático. Aunque recientemente es usual que se usen en Biología las herramientas matemáticas más básicas (Cálculo, Teoría de Grafos), ignorar todo el desarrollo matemático que fue generado para entender la naturaleza y, en particular, la biología es como mínimo un error.

Apesar de lo anterior, la palabra Biomatemática ha sido frecuentemente usada para referirse al uso de teorías o métodos estadísticos en la investigación biológica (Bartlett, 1975).

Primeros usos de matemática como herramienta fundamental en Biología

Entre los primeros usos en Biología tenemos a los trabajos de Lotka y Volterra (1925 y 1926) de competencia y depredación que fueron formulados como variables de tiempo continuo. Por la parte de modelos de generaciones discretas, Nicholson y Bailey en 1935 formularon sus modelos de dinámica poblacional. Sin embargo, quizás la primera aplicación práctica de modelos matemáticos en biología, en particular en epidemiología, fue el trabajo The Prevention of Malaria de Ross en 1911. El uso de modelos estocásticos fue introducido por los trabajos pioneros de McKendrick en 1914 y 1926, redescubierto en 1952 por Kendall D.G y Irwin J.O.

Modelos

Mientras los ingenieros usan modelos matemáticos para determinar como dirigir la operación de máquinas y computadoras, los biólogos usan el modelaje con para aprender como funciona el mundo natural. Un modelo que especifica exactamente como debe funcionar un sistema hace más facil localizar los vacíos en nuestro entendimiento; mas aún, discrepancias entre las predicciones del modelo y la naturaleza ayudan a especificar lo que no conocemos (Gordon, 2010).

‘Los modelos son descripciones, a veces muy hermosas, de maneras en las que imaginamos que el mundo es’ (Gordon, 2010).

La palabra modelo es usada deliberadamente para implicar el remplazo de la compleja realidad biológica por algún sistema hipotético más idealizado (Bartlett, 1960).

Referencias

Bartlett M.S. (1960) Stochastic Population Models
Bartlett M.S. (1975) Biomathematics. In: Probability, Statistics and Time. Springer, Dordrecht. https://doi.org/10.1007/978-94-009-5889-0_5
Gordon, D. M. (2010). Ant encounters. Princeton University Press.

Ecuaciones de Diferencia Lineales

Una ecuación de diferencia de orden $k$ tiene la forma $f(x_{t+k},x_{t+k-1},...,x_t)=0$ donde $t=0,1,...$ . $f$ es una función de valores reales de las variables reales $x_t$ a $x_{t+k}$ y $t$ .

Una ecuación de diferencia es llamada autónoma si no depende explícitamente de $t$ . Si una ecuación de diferencia no es autónoma es llamada no autónoma.

La representación usual es la siguiente: $x_{t+k}+a_1 x_{t+k-1}+...+a_k x_t=b_t$ , donde $t=0,1,...$ Los coeficientes $a_j$ pueden ser funciones de $t$ y $x_i$ para $i=t,...,t+k-1$ . La función $b_t$ puede depender de $t$ .

Ejemplo:

$x_{t+1}=atx_t+bt^2x_{t-1}+sen(t)$

Una ecuación de difernecia es llamada homogénea si $b_t=0$ . En el caso anterior $b_t=sen(t)$ por lo que es una ecuación de diferencia no homogénea.

Si los coeficientes no dependen de las variables de estado ( $x_i$ s) entonces la ecuación es llamada lineal. En ejemplo anterior $a_1=at$ y $a_2=bt^2$ por lo que sería finalmente una ecuación no autónoma lineal no homogénea.

También podemos hablar de sistemas de ecuaciones de diferencia que son un análogo directo de los sistemas de ecuaciones y al igual que los sistemas de ecuaciones, es ameno para ser tratado con Álgebra lineal. Una de las representaciones de sistemas de ecuaciones de diferencia es la siguiente: $x_i(t+1)=f_i(x_1(t),x_2(t),...,x_k(t),t)$ , donde $i=1,2,...,k$ .

La forma matricial de expresar este sistema de ecuaciones sería $X(t+1)=A(t)X(t)+B(t)$ donde $X$ es el vector $[x_1,x_2,...,x_k]^t$ , la matriz $A=(a_{ij})_{ij=1}^k$ y el vector $B=[b_1,b_2,...,b_k]^t$ .

Referencias

Allen, L. J. (2007). An introduction to mathematical biology. Upper Saddle River, New Jersey.

Ecuaciones de Diferencia No Lineales

Referencias

Allen, L. J. (2007). An introduction to mathematical biology. Upper Saddle River, New Jersey.