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Topología General

Los objetos que estudia la Topología son espacios topológicos, los cuales, en términos simples, son conjuntos con propiedades adicionales. La Topología General también es conocida como point-set Topology, se enfoca principalmente en la continuidad y propiedades geométricas de espacios. Esta es la base de

Topologia Algebraica
Topología Diferencial
Topología de baja dimensión (Low-Dimensional Topology)

Índice

Nociones Introductorias
Espacios Métricos
Homeomorfismo
Espacios Topológicos
Retracción
Constructos Topológicos

Elementos Adicionales

σ-Álgebras

Nociones Introductorias

Estudiar Topología es más sencillo con un ejemplo concreto como lo es $\R$ .

Definción: Se llama vecindad de $x$ a un conjunto que incluye a un intervalo abierto que a su vez incluye a $x$ (Horváth, 1969).

Definiciones: Sea $M$ un subconjunto de $\R$ . Un punto $x\in \R$ es punto interior de $M$ si existe una vecindad $V$ de $x$ tal que $V\subset M$ . Un punto $x\in\R$ es un punto exterior a $M$ si existe una vecindad $V$ de $x$ tal que $V\cap M=\emptyset$ . Un punto $x\in\R$ es un punto de frontera (boundary point) si toda vecindad $V$ de $x$ cumple que $V\cap M\neq \emptyset \land V\setminus M\neq\emptyset$ (Horváth, 1969).

Definición: Un subconjunto $A$ de $\R$ es abierto si todos sus elementos son interiores (Horváth, 1969).

En la sección de espacios topológicos vemos que la noción o idea de cálculo de conjuntos abiertos dada aquí es congruente con la definición general de abierto. Más aún, en base a la definición brindada, las siguientes proposiciones son demostrables:

$\emptyset$ y $\R$ son abiertos.
Si $A$ y $B$ son abiertos, también lo es $A\cap B$ .
$\cup_{i\in I}\{A_i\}$ (siendo cada $A_i$ abierto) es también un abierto.

Cada una de estas se verifica directamente de la definición general de abierto.

Definiciones: El conjunto de todos los puntos interiores de un subconjunto cualquiera de $\R$ se llama interior de $A$ y se denota por $A^{\circ}$ , $\mathit{Int}A$ o $\langle A \rangle$ . El boundary de $A$ es el conjunto de todos los puntos de frontera de $A$ y se denota por $\delta A$ , $b(A)$ , $Fr(A)$ o $Fr_{\R}(A)$ .

El interior de $A$ es el complemento en $A$ del boundary de $A$ . El boundary de $A$ es el conjunto de puntos que no están en el interior de $A$ o en el interior de $\R\setminus A$ . El boundary de $A$ es también $\overline{A}\setminus A^{\circ}$ . Todo conjunto que contenga su boundary no es abierto; análogamente, si un conjunto es disjunto a su boundary es abierto. El interior de todo conjunto es abierto.

Definición: Se dice que un punto $x\in\R$ es adherente al conjunto $A\subset\R$ si toda vecindad de dicho elemento contiene un elemento de $A$ .

Una conclusión directa es que los puntos adherentes serán los puntos interiores de $A$ y los puntos de frontera de $A$ .

Definición: El conjunto de todos los puntos de adherencia de un conjunto es llamada la adherencia o cerradura de dicho conjunto. Se denota como $\overline{A}$ , $\mathit{Cl}A$ o $\mathit{Cl}_{\R}A$ .

La cerradura también se puede definir como el complemento del interior del complemento del conjunto.

Definición: Las siguientes son definiciones equivalentes de conjunto cerrado:

Un conjunto cerrado es el complemento en \R de un conjunto abierto.
Es un conjunto que es equivalente a su cerradura (A=\overline{A}).

Finalmente, un conjunto puede ser cerrado, abierto, cerrado y abierto o ninguno de los dos. Con esto, podemos concluir que

$\emptyset$ y $\R$ son cerrados.
Si $A$ y $B$ son cerrados, también lo es $A\cup B$ .
$\cap_{i\in I}\{A_i\}$ (siendo cada $A_i$ cerrado) es también un cerrado.

Referencias

Horváth, J. (1969). Introducción a la topología general. Matemática. Monografía (OEA).
Boundary. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Boundary&oldid=39407
Closure of a set. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Closure_of_a_set&oldid=34423

Espacios Métricos

Los espacios métricos son una generalización del espacio euclidiano.

Definición

Un espacio euclidiano es un par $(X,d)$ , tal que $X$ es un conjunto y $d$ una función de distancia abstracta definida como $d:X\times X \to \R$ , de modo que se cumplen las siguientes condiciones para cualesquiera puntos $x,y,z$ de $X$ .

(M1) $\forall x,y \in X,d(x,y)\geq 0$
(M1.5) $\forall x,y\in X, x=y\iff d(x,y)=0$
(M2) $\forall x,y\in X, d(x,y)=d(y,x)$
(M3) $\forall x,y,z\in X, d(x,y) d(y,z)\geq d(x,z)$

Estas condiciones se llaman positividad, simetría e inecualidad triangular.

Convergencia de secuencias

Una secuencia $\{x_n\}$ en un espacio métrico $(X,d)$ se dice que converge a un punto $y$ en $X$ si para cada $\epsilon>0$ existe un entero positivo $N$ tal que para todos los enteros $n\geq N$ , $d(x_n,y)<\epsilon$ .

Expresado en términos de topología, para un espacio topológico arbitrario, una secuencia $\{x_n\}$ en un espacio topológico $(X,\mathcal{T})$ converge a un punto $y$ de $X$ si para cada conjunto abierto $U$ que contiene a $y$ , existe un natural $N$ , tal que para todo $n\geq N$ , $x_n\in U$ .

Considera $(X, d)$ como un espacio métrico.

Definición: Sea $x_0\in X$ y $r$ un número real positivo. Entonces, la bola abierta con centro en $x_0$ y radio $r$ se define como el conjunto $\{x\in X: d(x,x_0)<r\}$ . Se denota como $B_r(x_0)$ o $B(x_0,r)$ . Se llama tambíén la r-bola abierta alrededor de $x_0$ . Cuando se quiere dejar en claro la métrica se usa $B_d(x_0,r)$ .

Definición: Un subconjunto $A\subset X$ se dice que es abierto si para cada $x_0\in A$ , existe alguna bola abierta alrededor de $x_0$ y esta es contenida en $A$ , es decir, existe $0<r$ tal que $B(x_0,r)\subset A$ .

Vemos como los conceptos de topología surgen a partir de la métrica, en estos casos, llamamos al espacio topológico como metrizable.

Retomando el caso de $\R$ , la topología usual de $\R$ es definida como la topología inducida por la métrica euclidiana. $\mathcal{T}$ en este caso está conformado por los subconjuntos de $\R$ que pueden ser expresados como la unión contable de intervalos abiertos de $\R$ . Existen otras topologías definidas en $\R$ como la topología de intervalos semi-abiertos o la topología de dispersión.

Para terminar esta sección, hablaremos de la topología de los conjuntos linealmente ordenados $(X,\leq)$ . Sea $A\subset X$ un abierto si $\forall x\in A$ , $\exists a,b\in A (a<x<b\land$ $\{y\in X: a<y<b\}\subset A)$ .

Referencias

Joshi, K. D. (1983). Introduction to general topology. New Age International.

Homeomorfismo

Ser homeomórficos es una relación de equivalencia en la clase de todos los espacios topológicos. Una propiedad o un atributo de un objeto, que es invariante ante homeomorfismos, se dice que es topológica en caracter. Estas propiedades algunas veces son denominadas invariantes topológicas.

Definición: Sean $A$ y $B$ de subconjuntos de espacios euclidianos. Un homeomorfismo entre $A$ y $B$ es una biyección $f:A\to B$ tal que tanto $f$ como su inversa son continuos. Cuando tal $f$ existe, se dice que $A$ y $B$ son homeomórficos entre ellos.

El mapa de identidad ( $i$ ) es el ejemplo más sencillo de homeomorfismo. La inversa de un homeomorfismo y la composición de dos homeomofismos también lo son.

Referencias

Joshi, K. D. (1983). Introduction to general topology. New Age International.

Espacio Topológico

Definición: Un espacio topológico es un par $(X,\mathcal{T})$ donde $X$ es un conjunto y $\mathcal{T}$ es una familia de subconjuntos de $X$ que satisfacen que:

$\emptyset \in \mathcal{T}$ y $X\in \mathcal{T}$ .
$\mathcal{T}$ es cerrado bajo uniones arbitrarias.
$\mathcal{T}$ es cerrado bajo intersecciones arbitrarias.

La familia $\mathcal{T}$ se dice que es una topología del conjunto $X$ . Los miembros de $\mathcal{T}$ se dice que son abiertos en $X$ o que son subconjuntos abiertos de $X$ . Es evidente que tanto $\emptyset$ como $X$ son parte de $\mathcal{T}$ .

Nos damos cuenta, entonces, que el enfoque métrico es solo una manera de definir topologías; sin embargo, en general, no es necesario.

Bases de una Topología: Sea $(X, \mathcal{T})$ un espacio tológico. Una subfamilia $\mathcal{B}$ de $\mathcal{T}$ se dice que es una base de $\mathcal{T}$ si cada miembro de $\mathcal{T}$ puede ser expresado como la unión de algunos miembros de $\mathcal{B}$ .

Vecindad: Sea $(X,\mathcal{T})$ un espacio topológico, $x_0\in X$ y $N\subset X$ . Entonces, $N$ se dice que es una vecindad de $x_0$ o $x_0$ es llamado punto interior de $N$ si hay un conjunto abierto $V$ tal que $x_0\in V$ y $V\subset N$ .

Cercanía (Nearness)

Sea $X$ un conjunto. Una relación de cercanía en $X$ es un subconjunto $N$ de $X\times \wp(X)$ el cual satisface ciertas propiedades.

Notación: Para $y\in X$ y $A\in \wp (X)$ , escribimos $y\delta A$ para referirnos a $(y,A)\in N$ y $y \overline{\delta}A$ para denotar $(y,A)\notin N$ ; $y\delta A$ se lee como “ $y$ está cerca a $A$ ”.

Propiedades:

$y\overline{\delta}\emptyset$ para todo $y\in X$ .
$y\in A\implies y\delta A$ para todo $y\in X$ , $A\subset X$ .
$y\delta (A\cup B)\iff y\delta A\lor y\delta B$ , para todo $y\in X$ , $A,B \subset X$ .
Si $y\delta A$ y ( $a\delta B$ para todo $a\in A$ ), entonces $y\delta B$ , para todo $y\in X$ , $A,B\subset X$ .

Proposición: Sea $\mathcal{D}$ una familia de subconjuntos de $X$ , entonces existe una topología $\mathcal{T}$ de $X$ que incluye a $\mathcal{D}$ y sea la más pequeña (es subconjunto de toda topología que incluya a $\mathcal{D}$ y es única).

Entonces se dice que $\mathcal{D}$ genera a $\mathcal{T}$ . Relacionados a estos conceptos de inclusión de topologías están los conceptos comparativos de “más pequeño que” o “más grande que”.

Definición: La topología $\mathcal{T}_1$ es más pequeña (o más debil o más tosca) que la topología $\mathcal{T}_2$ si $\mathcal{T}_1\subset\mathcal{T}_2$ . En este caso, $\mathcal{T}_2$ es más grande (o más fuerte o más fina) que $\mathcal{T}_1$ .

Note que tanto la topología $\mathcal{T}_1$ como $\mathcal{T}_2$ deben estar definidas en el mismo conjunto.

En este sentido, la topología más pequeña de todas es la topología indiscreta ( $\mathcal{T}=\{\emptyset,X\}$ ), mientras que la topología más grande de todas es la topología discreta ( $\mathcal{T}=\wp(X)$ ). Otra topología con nombre es la topología cofinita que en el caso de conjuntos finitos, coincide con la topología discreta, y está definida como aquella que comprende a subconjuntos de $X$ cuyo complemento en $X$ es finito.

Llamamos a un espacio topológico como paracompacto si cualquier cobertura abierta pose un refinamiento localmente finito.

Referencias

Joshi, K. D. (1983). Introduction to general topology. New Age International.

Retracción

Sea $X$ un espacio topológico y $A$ un subespacio de $X$ . El mapeo (función continua)

$\tau : X \to A$

es una retracción si $\tau_{|A}(x)=x$ .

Referencias

Constructos Topológicos

Un constructo es una categoría concreta sobre Set. Un constructo también se puede entender como categorías de sets estructurados y funciones que preservan dicha estructura entre ellos.

Referencias

Adámek, J., Herrlich, H., & Strecker, G. E. (2004). Abstract and concrete categories. The joy of cats.
Preuss, G. (2011). Foundations of topology: an approach to convenient topology. Springer Science & Business Media.

Elementos Adicionales

σ-Álgebras

El estudio de σ-álgebras está relacionado con probabilidades y surge como respuesta a la necesidad de medir. Al ser cerradas bajo complementación, las σ-álgebras nos brindan un marco para responder preguntas presentándonos las alternativas $P$ y $\neg P$ . La definición por Jost (2015) es la siguiente,

Definición: Sea $X$ un conjunto, una σ-álgebra de subconjuntos de $X$ es un subconjunto $\mathcal{A}$ de $\wp(X)$ que satisface:

$X\in\mathcal{A}$ .
$y\in\mathcal{A}\implies X\setminus y\in\mathcal{A}$ .
Siendo $\{X_n\}$ un secuencia, si $(\forall n\in\N)(X_n\in\mathcal{A})$ , entonces $\cup_{n\in\N}X_n\in\mathcal{A}$ .

Vemos como sigue la conexión natural con Measure Theory al establecer que la dupla $(X,\mathcal{A})$ es un measurable space, y si definimos a $\mu$ como una medida de $X$ , entonces el triple $(X,\mathcal{A},\mu)$ es un measure space. Siendo estos dos espacios elementos básicos de Measure Theory. De forma breve, comentamos que una medida es una función evaluada en los reales extendidos ( $\R\cup \{ \infty,-\infty\}$ ) que parte de $\mathcal{A}$ (σ-álgebra de $X$ ) y cumple las siguientes propiedades: (1) Todos sus valores son no negativos, (2) la medida de $\emptyset$ es 0 y (3) es aditivo contable. La última propiedad se refiera a que si todos los valores de una secuencia están en $\mathcal{A}$ , entonces la medida de la unión de todos sus elementos es igual a la suma de la medida de cada uno de ellos.

Como consecuencia de la definición de $\mathcal{A}$ , tenemos que

$\emptyset\in\mathcal{A}$ .
$B_1,...,B_k\in\mathcal{A}\implies\cap_{j=1}^{k}B_j\in\mathcal{A}$ .

El enlace con Topología se da de la siguiente manera, si $(X,\mathcal{T})$ es un espacio topológico, entonces podemos tomar el σ-álgebra más pequeño que contiene a los elementos de $\mathcal{T}$ . Los conjuntos de esta σ-álgebra son llamados conjuntos de Borel. La σ-álgebra, en particular, recibe el nombre de Borel σ-álgebra

La manera en que utilizamos σ-álgebras para discriminar elementos de un conjunto $X$ es la siguiente, sean $p_1,...,p_k$ propiedades a ser evaluadas en $X$ , construimos un set $\mathcal{B}$ con los elementos $\emptyset,X$ , todos los subconjuntos de $X$ $B_{p_i}$ que incluyen únicamente elementos que cumplen cada una de las propiedades, al igual que sus complementos. A partir de esta base tomamos también a las uniones arbritarias de cada uno de estos conjuntos y a sus complemetnos en $X$ . El set resultante $\mathcal{B}$ es un σ-álgebra. Nos damos cuenta que, a medida que evaluemos más propiedades en $X$ , el conjunto $\mathcal{B}$ se va haciendo más grande y, en particular, vamos siendo más capaces de discernir con mayor precisión entre los elementos de $X$ .

En Measure Theory, las propiedades mencionadas anteriormente son las medidas $f_1,f_2,...,f_n$ y los conjuntos estarán definidos como $\{x\in X: a<f(x)\}$ o $\{x\in X: f(x)=a\}$ para todo $a\in\R$ .

Referencias

Halmos, P. R. (1970). Measure theory. New York: Springer.
Jost, J. (2015). Mathematical concepts. Berlin: Springer.