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Teoría de Conjuntos

Esta teoría ve la luz en 1874, con el trabajo del matemático aleman Georg Cantor (1845-1918) titulado “Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen”. Entre las áreas de estudio en la actualidad se encuentran

Combinatorial set theory
Descriptive set theory
Fuzzy set theory
Inner model theory
Forcing

entre otras.

Índice

Conceptos preliminares
Introducción
Axiomas de Zermelo-Fraenkel
Inducción matemática
Conjuntos contables
Filtros
Axioma de elección (AC)
Conjuntos bien ordenados
Inducción
Números cardinales

Conceptos preliminares

Antes de iniciar con el estudio de esta teoría, es necesario tener algunos conceptos de lógica matemática claros. Entre ellos, recordar que una fórmula (abreviación de fórmula bien formulada o well-formed formula) es una cadena de caracteres (elementos de un alfabeto) que siguen o cumplen con una gramática formal. El conjunto de todas las fórmulas es el lenguaje formal. Como ejemplo, un teorema es fórmula de cierta importancia en el lenguaje formal. Finalmente, una fórmula puede tener variables libres o no, una fórmula sin variables libres es conocida como una sentence. En el caso de las fórmulas con variables libres, se suele adoptar la notación $\phi(p_1,...,p_n)$ , donde $p_1,...,p_n$ son las variables.

La teoría de conjuntos usa fórmulas atómicas para construir todas las fórmulas de la teoría. Estas fórmulas atómicas son $x\in y$ y $x=y$ , el resto de fómulas se construye con la ayuda de conectores y cuantificadores. Los conectores son:

Negación: $\neg\phi$ .
Conjunción: $\phi\land\psi$ .
Disyunción: $\phi\lor\psi$ .
Implicancia: $\phi\implies\psi$ .
Equivalencia: $\phi\iff\psi$ .

Mientras que los cuantificadores son:

Universal: $\forall x\phi$ .
Existencial: $\exists x\phi$ .

El uso de formulas atómicas, conectores y cuantificadores se conoce como lógica de primer orden (first-order logic) y es el corazón de la teoría de conjuntos; la lógica de primer orden tiene como base al cálculo proposicional que usa únicamente fórmulas y conectores. En una nota complementaria, a partir de la lógica de primer orden se extiende la lógica de segundo orden que se usa en teoría de conjuntos cuando cuantificamos sobre subsets de un set (por ejemplo $\forall S\subset \mathbb{N}(P\implies Q)$ ), en logica de segundo orden también se puede cuantificar sobre otras fórmulas; de la misma manera, se extiende la lógica de orden superior. Las bases del cálculo proposicional o lógica proposicional son las siguientes:

$\begin{matrix} \psi & \neg\psi\\ V & F\\ F & V\\ & \\ & \end{matrix}$

$\begin{matrix} \psi & \phi & \psi\land\phi\\ V & V & V\\ V & F & F\\ F & V & F\\ F & F & F \end{matrix}$

$\begin{matrix} \psi & \phi & \psi\lor\phi\\ V & V & V\\ V & F & V\\ F & V & V\\ F & F & F \end{matrix}$

$\begin{matrix} \psi & \phi & \psi\implies\phi\\ V & V & V\\ V & F & F\\ F & V & V\\ F & F & V \end{matrix}$

$\begin{matrix} \psi & \phi & \psi\iff\phi\\ V & V & V\\ V & F & F\\ F & V & F\\ F & F & V \end{matrix}$

Con estos conceptos claros, veamos algunas formas de argumento generalmente usadas,

Modus ponendo ponens: $((P\implies Q)\land P)\implies Q$ .

Modus tollendo tollens: $((P\implies Q)\land \neg Q)\implies \neg P$ .

Silogismo hipotético: $((P\implies Q)\land (Q\implies R))\implies (P \implies R)$ .

Silogismo disyuntivo: También llamado Modus tollendo ponens, $((P\lor Q)\land\neg P)\implies Q$ .

Leyes de Morgan: La primera es: $\neg (P\land Q)\equiv\neg P\lor\neg Q$ , mientras que la segunda es: $\neg (P\lor Q)\equiv \neg P\land\neg Q$ .

Finalmente, tanto la conjunción como la disyunción son conmutativas, asociativas y ambos juntos, distributivas. Otros principios lógicos importantes son el principio de no contradicción y el principio del tercero excluído. El principio de no contradicción establece que una proposición y su negación no pueden ser simultánemanete validas, en el sentido que $P\land\neg P$ es siempre falso o una contradicción. El principio del tercero exluído establece que si una proposición establece algo y otra, su negación, entonces no existe una tercera proposición que sea verdadera más allá de las dos primeras, en otras palabras, $P\lor\neg P$ es una tautología.

Respecto a la notación usada, en lógica de primer orden, es usual redactar de la siguiente manera $(\textit{Cuantificador})(\textit{Proposicion})$ . También redactamos $(\textit{Cuantificador})(\textit{Proposicion})\iff(\textit{Cuantificador})(\textit{Proposicion})$ .

Referencias

Jech, Thomas J. (2003). Set theory. Springer 3rd Millennium ed.

Introducción

Empezamos con las siguientes definiciones:

El símbolo $\in$ representa pertenencia, formalmente, es una relación entre un elemento y el conjunto que lo contiene. Por ejemplo, $a\in S$ significa que $a$ es un elemento de $S$ . También se utiliza el símbolo $\notin$ para representar que un elemento no está en un conjunto.
Un conjunto se define de la siguiente manera: $A=\{x:P(x)\}$ , donde $x$ representa a los elementos del conjunto y $P(x)$ significa que sus elementos cumplen la propiedad $P$ . Todo junto se lee “A es un set cuyos elementos ( $x$ ) cumplen $P(x)$ ”.

Con estos elementos podemos definir otras relaciones y operaciones. Un conjunto $B$ es subconjunto de $A$ si se cumple lo siguiente: $b \in B \Rightarrow b \in A$ , en otras palabras, todo elemento de $B$ está en $A$ . Esta relación se representa con el símbolo $\subset$ , entonces, el enunciado anterior es equivalente a $B\subset A$ .

Dicho esto, la equivalencia de conjuntos se define como: $A=B\iff A\subset B \land B\subset A$ . Con este concepto se hace una distinción entre subconjuntos y subconjuntos propios, un subconjunto propio es aquel subconjunto que no es equivalente al conjunto relacionado, es decir, si $B$ del ejemplo anterior fuese un subconjunto propio, debería existir algún elemento en $A$ que no pertenezca a $B$ .

A continuación, definiremos la unión de dos conjuntos, la cual se representa de la siguiente manera: $A\cup B = \{x:x\in A \lor x\in B\}$ . La definición de intersection es similar: $A\cap B = \{x:x\in A \land x\in B\}$ .

La teoría de conjuntos pasó a su era moderna a inicios de 1960 con la aparición de los métodos de forzado y el descubrimiento de la relación entre números cardinales grandes y los conjuntos construíbles. Los métodos de forzado (forcing methods) son útiles para probar consistencia e independencia de resultados. La independencia se puede entender como la improbabilidad de una sentencia a partir de otras.

Herrlich, H. (2006). Axiom of choice. Berlin: Springer.
Herstein, I. N. (1975). Topics in algebra. Second edition. Xerox Corporation.
Jech, Thomas J. (2003). Set theory. Springer 3rd Millennium ed.

Axiomas de Zermelo-Fraenkel

Axioma de extensionalidad: Si dos conjuntos tienen los mismos elementos, entonces son iguales.
Axioma de emparejamiento: Para cada $a$ y $b$ existe un conjunto $\{a,b\}$ que contiene únicamente a ambos.
Esquema del axioma de separación: Si $P$ es una propiedad, entonces, para cualquier conjunto $X$ y parámetro $p$ (parámetro de $P$ ), existe un conjunto $Y=\{u\in X:P(u,p)\}$ que contiene a todos los elementos de $X$ que cumplen la propiedad $P$ .
Axioma de unión: Para cada conjunto $X$ existe un conjunto formado por la unión de todos los elementos de $X$ .
Axioma del producto cartesiano: Para cada conjunto existe un conjunto formado por todos los subconjuntos de dicho conjunto.
Axioma del infinito: Existe un conjunto infinito.
Esquema del axioma de reemplazo: Sin una clase $f$ es una función, entonces para cada $X$ existe un conjunto $Y=\{f(x):x\in X\}$ .
Axioma de regularidad: Cada conjunto no vacío contiene al menos un elemento disjunto de sí mismo.

Es importante comentar que el esquema del axioma de separación corresponde a ser una forma débil del esquema del axioma de comprensión. El esquema del axioma de comprensión tiene la forma de “si $P$ es una propiedad, entonces el conjunto $Y=\{x:P(x)\}$ existe”. Este esquema lleva a la famosa paradoja de Russell, por lo que en ZF fue reemplazada por una forma no nociva.

Referencias

Jech, Thomas J. (2003). Set theory. Springer 3rd Millennium ed.

Inducción matemática

Esta es una técnica o metodología para probar proposiciones/formulas respecto a los naturales. El primer paso es probar o mostrar un caso base que cumpla con la proposición y el segundo es mostrar el paso inductivo, es decir, asumiendo la proposición $p(n)$ , mostrar que $p(n+1)$ también cumple.

Antes de continuar con inducción, es necesario establecer los axiomas de Dedekin-Peano, lo cual corresponde a una forma de axiomatizar los números naturales. De este modo, los números naturales son un conjunto $\mathbb{N}$ que cumple que

$1\in\mathbb{N}$ .
$\forall n\in\mathbb{N}(n+1\in\mathbb{N})$ .
$\forall n,m\in\mathbb{N}(n+1=m+1\implies n=m)$ .
$\forall n\in\mathbb{N}(n+1\neq 1)$ .
$\forall S\subset\mathbb{N}(1\in S\land (n\in S\implies n+1\in S)\implies S=\mathbb{N})$ .

La última proposición se conoce como el axioma de inducción. Bajo este sistema axiomático es posible probar la inducción matemática, la cual se puede expresar de la siguiente manera:

Teorema: Sea $P(n)$ una fórmula respecto a los números naturales, si $P(1)$ y $\forall n\in\mathbb{N}(P(n)\implies P(n+1))$ , entonces $(\forall n \in\mathbb{N})(P(n))$ .

La prueba de este axioma es directa con el axioma de inducción.

Inducción fuerte

La diferencia con la inducción débil es que el paso inductivo toma la forma de $\forall n\in\mathbb{N}(k<n\implies(P(k)\implies P(n)))$ , esto se conoce como una hipótesis fuerte ya que para probar $P(n)$ asumimos $P(1),...,P(n-1)$ .

Con inducción fuerte podemos probar el teorema fundamental de la Aritmética. Dentro de la aritmética de Peano, la inducción usual o débil es equivalente a la inducción fuerte.

Referencias

Conjuntos contables

Dos conjuntos $A$ , $B$ son equinúmeros (equipotentes) o tienen la misma cardinalidad ( $A\equiv B$ ) si existe un mapa bijectivo de $A$ hacia $B$ .

Un set es finito si existe una bijección desde un subconjunto propio de los naturales hacia $A$ ; caso contrario, llamamos a $A$ , infinito. Un conjunto es llamado contable si es finito o si existe una biyección de los naturales (todo el conjunto) a $A$ ; si no es contable, $A$ es incontable.

Cada conjunto infinito X es Dedekind infinito si y solo si permite una inyección $\N\to X$ . Cada subconjunto infinito de $\R$ es Dedekind infinito. Todo set infinito linealmente ordenado es Dedekind infinito.

Teorema 1: La unión (finita o infinita) de conjuntos contables es contable.

La prueba de este teorema involucra el método de la diagonal de Cantor. Como nota histórica, el hecho de que los números naturales no son contables fue demostrado con el método de la diagonal por Cantor.

Teorema 2: (Cantor) Para cualquier par de números reales $a$ y $b$ , con $a<b$ , el intervalo $[a,b]$ es incontable.

Este teorema corresponde a una versión generalizada de la demostración (por Cantor) de que el intervalo $[0,1]$ no es contable.

Considerando la construcción de $\Q$ como la unión de todos los conjuntos $\{m/n:m\in\Z\}$ para $0<n$ siendo $n\in\Z$ , se desprende del teorema 1 que $\Q$ es también contable al ser la unión de conjuntos contables, los cuales son contables ya que el mismo $\Z$ es contable.

Un conjunto de interés es $Y^X$ , definido como el conjunto de todas las funciones de $X$ a $Y$ .

Definimos una relación $\leq_c$ entre conjuntos $A$ y $B$ si existe una función inyectiva de $A$ a $B$ (no tiene que ser onto (suryectiva)). En lenguaje normal, $A\leq_c B$ si la cardinalidad de $A$ es menor o igual que la cardinalidad de $B$ . También podemos definir $<_c$ entre $A$ y $B$ si $A\leq_c B$ y no se cumple que $A\equiv B$ .

Teorema: (Cantor) Para cualquier conjunto $X$ , $X<_c\mathcal{P}(X)$ .

Teorema de Schröder-Bernstein: Para cualquier par de conjuntos $X$ y $Y$ ,

$X\leq_cY\land Y\leq_cX\Rightarrow X\equiv Y$

La prueba fue inicialmente dada por Cantor y luego por Dedekind.

Teorema: Para cualquier par de conjuntos $X$ y $Y$ , al menos uno de los siguientes se mantienen $X\leq_c Y$ o $Y\leq_c X$ .

Teorema: Sea $A$ un conjunto finito y $X$ un conjunto infinito, $X\times A \equiv X$ .

Esto también parece cumplirse cuando $A=X$ .

Referencias

Srivastava, S. M. (2008). A course on Borel sets. Springer Science & Business Media.

Filtros

Sea $X$ un conjunto, un conjunto no vacío $\mathcal{F}$ de subconjuntos de $X$ (es decir, $\mathcal{F}\subset\wp(X)$) es llamado un filtro en $X$ siempre que lo siguiente se cumpla

$\emptyset\not\in\mathcal{F}$.
$F_1\in\mathcal{F}\land F_2\in\mathcal{F}\implies F_1\cap F_2 \in\mathcal{F}$.
$F\in\mathcal{F}\land F\subset F^*\subset X\implies F^*\in\mathcal{F}$.

A continuación se presenta el concepto de filter base.

Definición: Sea $X$ un conjunto, un conjunto no vacío $\mathcal{B}$ de subconjuntos de $X$ tal que

$\emptyset\not\in\mathcal{B}$.
$ B_1\in\mathcal{B}\land B_2\in\mathcal{B}\implies\exists B_3\in\mathcal{B}:B_3\subset B_1\cap B_2$.

A partir de este conjunto $ \mathcal{B}$ generamos el conjunto $(\mathcal{B})=\{x\subset X:(\forall x\exists B\in\mathcal{B})(B\subset x)\}$ de modo que este es un filtro. Ten en cuenta que un mismo filtro puede ser generado por múltiples filter bases.

Solemos usar la expresión $ F(X) $ para referirnos a todos los filtros en un conjunto $X$.

Ultrafiltro: Es un filtro maximal dado el orden parcial de la inclusión $(F(X),\subset)$, es decir, no hay otro filtro que lo contenga que no sea el mismo.

Como consecuencia de su definición, se cumplen las siguientes propiedades además de la definición de filtro, sea $ \mathcal{U}$ un ultrafiltro en $X$,

Si $A$ y $B$ pertenecen al ultrafiltro, entonces su unión también es un elemento.
$(\forall A\subset X)(A\in\mathcal{U}\lor X\setminus A\in\mathcal{U})$.

La propiedad 2 puede ser tomada como definición de ultrafiltros (en adición a la definición de filtro).

Los ultrafiltros se dividen en dos clases, los triviales (o fijado o principal) y los libres. Los ultrafiltros triviales son una colección de todos los subconjuntos que contienen a un elemento (el elemento está fijo). Los ultrafiltros libres no son fijos a cualquier elemento, para probar la existencia de un ultrafiltro se requiere el axioma de elección.

Teorema: Para cada filtro existe un ultrafiltro que lo contiene.

Todo filtro es la intersección de todos los ultrafiltros que lo contienen.

Referencias

Herrlich, H. (2006). Axiom of choice. Berlin: Springer.
Preuss, G. (2011). Foundations of topology: an approach to convenient topology. Springer Science & Business Media.

Axioma de elección (AC)

AC: Para toda familia $(X_i)_{i\in I}$ de conjuntos no vacíos $X_i$ , el conjunto producto $\Pi_{i\in I}X_i$ es no vacío.

Los elementos del conjunto producto ( $\Pi_{i\in I}X_i$ ) son función de elección. Esta función de elección se aplica siempre que se use la idea de elegir un elemento. Si el conjunto de índices $I$ es finito, se puede probar la existencia de la función de elección de forma inductiva. Sin embargo, para un conjunto de índices infinito esto no es posible.

Recuerda que el producto cartesiano de una familia $(E_i)_{i\in I}$ es definido como $\Pi_{i\in I}E_i=\{(x_i)_{i\in I}: \forall i \in I, x_i\in E_i\}$ .

La existencia del axioma de elección es debatible. Hay muchos problemas cuando lo consideramos válido; sin embargo, hay más problemas cuando no lo consideramos; por lo que de momento se considera como necesario (útil pero no válido). Los constructivistas la evitan, ya que afirma la existencia de entidades elusivas (lo único que sabes es que existen). Una de las consecuencias es la paradoja de Banach-Tarski, la cual es extremadamente contraintuitivo.

El axioma de elección implica que todos los conjuntos son proyectivos en el sentido categórico, es decir, que para todo conjunto $C$ , se cumple que dados cualquier par de morfismos (funciones en este caso) $g:E\to X$ y $f:C\to X$ , tal que $g$ sea un epimorfismo (una función suryectiva en este caso), existe al menos un morfismo $h:C\to E$ tal que $g\circ h=f$ .

La prueba del siguiente teorema requiere el uso de AC.

Teorema: Si $X$ es infinito y $A\subseteq X$ es finito, entonces $X \setminus A$ y $X$ tienen la misma cardinalidad.

Lema de Zorn: Si $P$ es un conjunto no vacío parcialmente ordenado tal que cada cadena en $P$ tiene un límite superior en $P$ , entonces $P$ tiene un elemento maximal.

El Lema de Zorn se prueba que es equivalente a AC. También es equivalente a la condición de cadena maximal de Hausdorff, que establece que “cada conjunto parcialmente ordenado contiene una cadena maximal”.

Hipótesis del continuo: (Cantor) No existe conjunto cuya cardinalidad este entre los enteros y los números reales.

También se sabe que los números racionales se relacionan 1-1 con los enteros. La hipótesis del continuo plantea que los números reales tienen la mínima cardinalidad posible que sea mayor a la de los enteros. Además, los números relaes son equinúmeros con el conjunto potencia de los enteros, expresado en números de aleph, $|\R|=2^{\aleph_0}$ . La generalización de la hipótesis del continuo es, siendo $\lambda$ un cardinal infinito, $\nexists k (\lambda < |k| < 2^\lambda)$ .

Proposición: (König) Sean $\{X_i:i\in I\}$ y $\{Y_i:i\in I\}$ familias de conjuntos, tal que $X_i\leq_c Y_i$ para todo $i\in I$ . Entonces no existe un mapeo suryectivo de $\cup_iX_i$ a $\Pi_iY_i$ .

Axioma de fundación: (Axioma de regularidad) Entre los axiomas de teoría de conjuntos ZF, el axioma de fundación establece que $X\neq \emptyset \Rightarrow \exists y (y\in X \land y\cap x = \emptyset)$ . Se lee: todo conjunto no vacío es disjunto de uno de sus elementos.

Entre los matemáticos constructivistas, algunos aceptan formas débiles del axioma de elección. Estos son: el axioma de Elección Contable y el Principio de Elección Dependiente. El Axioma de Elección Contable establece que para cada secuencia $(X_n)_{n\in\N}$ de conjuntos no vacíos $X_n$ , el conjunto producto $\Pi_{n\in\N}X_n$ es no vacío. Existe una variante finita ( $X_n$ finito) de este axioma.

Axioma de elección multiple: Para cada familia $(X_i)_{i\in I}$ de conjuntos no vacíos $X_i$ , existe una familia $(F_i)_{i\in I}$ de subconjuntos finitos no vacíos $F_i$ de $X_i$ .

Principio de Elecciones Dependientes: Para cada par $(X,\delta)$ cuando X es un conjunto no vacío y $\delta$ es una relación en X tal que para cada $x\in X,\exists y \in X (x\delta y)$ . Existe una secuencia $(X_n)$ en X con $X_n\delta X_{n+1}$ para cada $n\in \N$ .

Principios de maximalidad

Teorema del ultrafiltro: En todo conjunto cualquier filtro puede ser agrandado a un ultrafiltro.
Principio del ultrafiltro débil: Cada conjunto tiene un ultrafiltro libre.

Referencias

Herrlich, H. (2006). Axiom of choice. Berlin: Springer.
König, J. (1905). Zum Kontinuum-Problem.
Srivastava, S. M. (2008). A course on Borel sets. Springer Science & Business Media.

Conjuntos bien ordenados

Todo orden lineal en un conjunto finito es un buen ordenamiento.

Definición: Un conjunto bien ordenado X es un conjunto linealmente ordenado para el cual todo subconjunto no vacío tiene un elemento minimal.

Recordemos que x es minimal en X si y solo si, para todo $y\in X (y\leq x \implies y=x)$ . No debes confundirlo con un minimo (límite inferior) que se define como un elemento x tal que para todo $y\in X (x\leq y)$ . Date cuenta que todo minimo es minimal; todo mínimo es el único minimal. Sin embargo, un único minimal no necesariamente es un mínimo. Dentro de un orden lineal, sin un elemento es minimal entonces es un mínimo.

Estar bien ordenado es una propiedad hereditaria, es decir, una propiedad que se hereda a cada subconjunto.

Si existe una biyección entre dos conjuntos bien ordenados que preserve dicho ordenamiento, dichos conjuntos se dice que son isomórficos en orden y la función recibe el nombre de isomorfismo de orden.

Teorema: X está bien ordenado si y solo si, dado cierto orden lineal, no existe una cada descendiente infinita de elementos de X.

Una consecuencia directa de este teorema es que el intervalo unitario $[0,1]$ no está bien ordenado, es decir, el continuo no está bien ordenado.

Principio del buen ordenamiento: Todo conjunto puede ser bien ordenado.

El principio del buen ordenamiento y el axioma de elección son equivalentes.

Decimos que un elemento $y$ es sucesor de $x$ si y solo si (1) $x<y$ y (2) $\forall z\in X (x<z\implies y\leq z)$ . Otra forma de denotar al sucesor de x es mediante S(x). Note que en un conjunto linealmente ordenado, x no puede tener más de un sucesor, además, no necesarimante todo elemento tiene sucesor.

Proposición: Sea $X$ un conjunto linealmente ordenado, $x\in X$ . $x$ es maximal o $x$ tiene un sucesor.

Proposición: Sea $S^{n+1}(x)=S(S^{n}(x))$ y $S^{0}(x)=x$ , si n<m, entonces $S^{n}(x)<S^{m}(x)$ para todo x.

Llamamos a un elemento como límite si no es el sucesor de ningún elemento.

Proposición: Sea X un conjunto bien ordenado y $\Lambda$ el conjunto de límites en X. Entonces, $X\subset \{S^{n}(x):x^in\Lambda,n\in\N\}$ .

Referencias

Roitman, J. (1990). Introduction to modern set theory. John Wiley & Sons.
Srivastava, S. M. (2008). A course on Borel sets. Springer Science & Business Media.

Inducción matemática

Principio de Inducción Matemática (Prueba por inducción): Para cada $n\in \mathbb{N}$ , sea $P_n$ una proposición matemática. Supón que $P_0$ es verdadero y que para cualquier $n$ , $P_{n+1}$ es cierto siempre que $P_n$ es cierto. Entonces, parar cada $n$ , $P_n$ es verdadero. En lógica, $(P_0\land \forall n (P_n\Rightarrow P_{n+1}))\Rightarrow \forall n (P_n)$ .

De forma general, si 0 pertenece al conjunto X y $n\in X$ implica $n+1\in X$ para todo número natural n, entonces $X=\N$ . Esta proposición se prueba por el buen ordenamiento de los naturales.

El siguiente teorema se prueba por inducción matemática.

Teorema: Si $X$ es finito, entonces $\wp(X)$ es finito.

Definición por inducción: Sea $X$ cualquier conjunto no vacío. Supón que $x_0$ es un punto fijo de $X$ y $g$ es un mapeo cualquiera $g:X\to X$ . Entonces, existe un mapeo único $f:\mathbb{N}\to X$ tal que $f(0)=x_0$ y $f(n+1)=g(f(n))$ para todo $n$ .

La definición por inducción es una manera de definir una función, la prueba demuestra que la función definida por este método existe y es única.

Prueba por inducción transfinita: Sea $ (W,\leq)$ un conjunto bien ordenado, sea $ P(w)$ una proposición matemática respecto a $ w\in W$. Supón que $ \forall w \in W (P(v) \forall v<w)\Rightarrow P(w)$ Entonces, $P(w)$ es cierto para todo elemento de $ W$.

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Referencias

Roitman, J. (1990). Introduction to modern set theory. John Wiley & Sons.
Srivastava, S. M. (2008). A course on Borel sets. Springer Science & Business Media.

Números cardinales

A pesar de estar en contra de AC, Russell dio una versión equivalente del axioma de elección llamada axioma de multipicación. La introducción de este axioma permitía la definición de productos arbitrarios de números cardinales, como

$ X \cdot Y = X\times Y $
$ k\cdot 0=0\cdot k=0$
$ k \cdot u = 0 \Rightarrow k=0\lor u=0$
$ k\cdot 1=1\cdot k=k$

Axioma multiplicativo: (Russell) Para cada familia $(X_i)_{i\in I}$ de conjuntos no vacíos mutuamente disjuntos, existe un conjunto $ Y$ con $

Y\cap X_i

=1$ para cada $ i\in I$.

Alephs

Un conjunto tiene cardinalidad $\aleph_0$ si y solo si es contable infinito, es decir, si existe una biyeccoón entre dicho cojunto y los números naturales. Los siguientes son $\aleph_0$

Números impares
Números pares
Números primos
Números compuestos
Enteros
Racionales
El conjunto de todos los subconjuntos finitos de cualquier conjunto infinito contable.

$\aleph_1$ es la cardinalidad del conjunto de todos los números ordinales contables, dicho conjunto ($ \omega_1$) es incontable.

Hipótesis del Aleph: Para todo ordinal $\alpha$ , $2^{\aleph_\alpha}=\aleph_{\alpha+1}$ . Tanto la hipótesis del continuo como la hipótesis del aleph para un cardinal 0 se supone que son falsas.

Referencias

Herrlich, H. (2006). Axiom of choice. Berlin: Springer.

Números ordinales

Los ordinales son conjuntos bien ordenados canónicos, en realidad, cualquier conjunto bien ordenado es orden isomórfico a un ordinal; por lo que no es una exageración decir que los ordinales son centrales para el estudio de los conjuntos.