mathbio

Teoría de grupos

Índice

Definición
Isomorfismos
Homomorfismos
Grupos abelianos finitos
Acción de grupos

Definición

Un grupo es una dupla $(G, \circ )$ de un conjunto $G$ y una operación binaria o ley de composición $\circ$ que cumplen las siguientes condiciones:

Cerradura: $\forall a,b\in G(a\circ b \in G)$ .
Asociatividad de la ley de composición: $(a \circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$ para $a,b,c\in G$ .
Existencia del elemento identidad: $\forall a\in G \exists e \in G (e \circ a = a \circ e = a)$ .
Existencia de la inversa de cada elemento: $\forall a\in G \exists a^{-1} (a\circ a^{-1} = a^{-1}\circ a = e)$ .

Existe una condición adicional llamada conmutatividad, definida como $\forall a,b \in G (a \circ b = b \circ a)$ . Los grupos que cumplan con esta condición son llamados grupos abelianos o conmutativos, los que no cumplen la condición son llamados no abelianos o no conmutativos.

De forma sencilla, un grupo es infinito si su conjunto asociado es infinito, de otra manera, es finito.

Referencias

Humphreys, J. F. (1996). A course in group theory. Oxford University Press.
Judson, T. W. (2017) Abstract Algebra: Theory and Applications.

Isomorfismos

Entre las “herramientas” que se usan para estudiar grupos están los isomorfismos; con ellos, se pueden econtrar semejanzas entre grupos que a primera vistas parecen disímiles.

Definición: (Judson, 2017) Dos grupos $(G, \bullet )$ y $(H, \circ )$ son isomórficos si existe un mapeo biyectivo (suryectivo e inyectivo) $\phi : G \to H$ , tal que $\phi (a \bullet b)=\phi (a)\circ \phi (b)$ para cualesquiera elementos $a,b\in G$ , es decir, se preservan las operaciones entre grupos. El mapa $\phi$ es llamado isomorfismo.

Note que el isomorfismo anterior está definido de $G$ hacia $H$ ; sin embargo, se puede probar que $\phi ^{-1}$ también es un isomorfismo. Observe también que dos grupos pueden tener dos o más isomorfismos distintos definidos entre ellos.

Entre las consecuencias de tener definidos isomorfismos tenemos que, tal que exista un isomorfismo $\phi : G \to H$ entre dos grupos, si el primero es abeliano, el segundo también lo es; si el primero es cíclico, el segundo también lo es, y, si el primero tiene un subgrupo de orden $n$ , el segundo también. Como caso especial, todos los grupos cíclicos de orden infinito son isomórficos a $\mathbb{ Z }$ .

Teorema: La relación de isomorfismos entre grupos es una relación de equivalencia en la clase de todos los grupos.

Así es como el objetivo de la teoría de grupos se torna hacia estas clases de equivalencia generadas dentro de la clase de todos los grupos. Dentro del estudio de ellos surge otro teorema muy importante.

Teorema de Cayley: (Teorema de representación) Todo grupo es isomórfico a un grupo de permutaciones.

El isomorfismo entre ellos recibe el nombre de representación regular izquierda del grupo ( $G$ ).

Producto directo externo

Considera el producto cartesiano de los conjuntos de dos grupos ( $G \times H$ ), es posible definir la siguiente ley de composición dentro de este nuevo conjunto: $(g_1,h_1) \diamond (g_2,h_2)=(g_1\bullet g_2,h_1\circ h_2)$ , siendo $g_1, g_2\in G$ y $h_1,h_2\in H$ y $\bullet ,\circ$ sus respectivas leyes de composiciones. Se demuestra que $(G\times H , \diamond)$ es un grupo y es llamado producto directo externo de $G$ y $H$ . De forma general,

$\prod_{i=1}^{n}G_{i}=G_{1}\times G_{2}\times ... \times G_{n}$

es el producto directo externo de los grupos $G_1, G_2,...,G_n$ .

Producto directo interno

En el caso anterior construímos un grupo más grande a partir de dos grupos pequeños, en este caso veremos una situación inversa: dividiremos un grupo como el producto de dos subgurpos. Primero consideraremos dos subgrupos $H$ y $K$ de $G$ que cumplan con las siguientes condiciones (Judson, 2017).

$G=HK=\{hk:h\in H, k\in K \}$
$H\cap K =\{e\}$
$hk=kh \forall k \in K, h\in H$ .

Entonces $G$ es el producto directo interno de $H$ y $K$ . El siguiente teorema enlaza los conceptos de productos directos internos y externos.

Teorema: Sea $G$ el producto directo interno de sus subgrupos $H$ y $K$ , entonces $G$ es isomórfico a $H\times K$ .

Toma en cuanta, también, que no todos los grupos pueden ser descompuestos por el producto interno directo. Finalmente, las condiciones del producto directo interno también pueden ser generalizadas a $n$ subgrupos, al igual que el teorema anterior.

Finalmente, recuerda que un automorfismo es un isomorfismo de un objeto matemático hacia sí mismo.

Referencias

Judson, T. W. (2017) Abstract Algebra: Theory and Applications.

Homomorfismos

Un homomorfismo entre dos grupos $(G,\circ )$ y $(H,\bullet )$ es un mapa $\phi : G\to H$ , definido como $\phi (g_1 \circ g_2)=\phi (g_1)\bullet \phi (g_2)$ para cualesquiera elementos $g_1, g_2\in G$ .

A diferencia de los isomorfismos, los homomorfismos no requieren ser biyecciones y, por lo tanto, se consideran una generalización del concepto de isomorfismo.

Para un homomorfismo entre dos grupos, se cumple que se preserva el elemento identidad, es decir, si $e$ es la identidad en $G$ , entoces $\phi (e)$ es la identidad de $H$ . Además, para cualquier elemento del grupo $G$ se cumple que $\phi (g^{-1})=(\phi (g)^{-1})$ . Finalmente, cuando se aplica la función a todos los elementos de un subgrupo de $G$ , el conjunto de llegada en $H$ es también un subgrupo, lo inverso también se cumple.

Otro concepto asociado es el de núcleo o kernel del homomorfismo, este está definido como el conjunto $ker \phi = \{g\in G : \phi(g)=e_H\}$ , donde $e_H$ es el elemento identidad de $H$ . Para un homomorfismo entre grupos, el kernel de $\phi$ es siempre un subgrupo normal. Como vimos, el kernel de un homomorfismo siempre incluirá al elemento identidad; si el homomorfismo es inyecto, el kenerl contendrá solo al elemento identidad.

A continuación veremos los teoremas de isomorfismos para grupos (existe una versión de estos para cada estructra algebraica).

Teorema del Homomorfismo: Dado el homomorfismo $\varphi : G \to H$ . Sea $\phi : G \to G/Ker\varphi$ el homomorfismo canónico, entonces $G/Ker\varphi$ y $\varphi (G)$ son isomórficos y ese isomorfismo es único.

Este teorema también es conocido por algunos como Primer teorema de isomorfismos o teorema fundamental de homomorfismos.

Teorema del Isomorfismo: Sea $(H,\circ )$ un subgrupo de $(G,\circ )$ y $(N,\circ )$ un subgrupo normal de $(G,\circ )$ . Entonces,

$(HN,\circ )$ es un subgrupo de $(G,\circ )$
$(H\cap N,\circ)$ es un subgrupo normal de $(H,\circ )$
$(H/(H\cap N), \circ)$ y $(HN/N, \circ )$ son isomórficos.

Teorema de correspondencia: Sea $(N,\circ )$ un subgrupo normal de un grupo $(G,\circ )$ , $\mathcal{N}$ el conjunto de subgrupos de subgrupos de $(G,\circ )$ que contienen a $(N,\circ )$ y $\mathcal{G}$ el conjunto de subgrupos de $G/N$ . Entonces, $\phi : \mathcal{N} \to \mathcal{G}$ es un mapeo inyectivo.

Referencias

Judson, T. W. y Beezer R. A. (2017) Abstract Algebra: Theory and Applications.

Grupos abelianos finitos

$\mathbb{Z}_n$ es el conjunto de clases de equivalencia de los enteros mod n. La clase de equivalencia se define por la relación $\sim$ definida como $\forall a,b \in \mathbb{Z} (n\text{ divide }a-b\Rightarrow a \sim b)$ . Por ejemplo, los enteros módulo 7 ( $\mathbb{Z}_7$ ) consiste en el conjunto $\{[0], [1], ..., [6]\}$ , donde:

$[0]=\{..., -14,-7,0,7,14, ...\}$

$[1]=\{..., -13,-6,1,8,15, ...\}$

…

$[6]=\{..., -8,-1,6,13,20, ...\}$

Algunas operaciones en $\mathbb{Z}_7$ , definimos la suma módulo n como el resto de la división de la suma y n. Análogamente se puede definir la multiplicación módulo n.

Se demuestra que todo grupo de orden primo era un grupo cíclico e isomórfico a $\mathbb{Z}_p$ , donde p es un número primo. También se demuestra que todo grupo abeliano finito es isomórfico al producto directo de grupos cíclicos de orden primo.

Generador de grupo

Sea $(G, \circ )$ un grupo y $\{g_i\}\in G (i \in I)$ , para un $I$ arbitrario. El subgrupo más pequeño de $(G, \circ )$ que contiene a $\{g_i\}$ es el subgrupo de $(G, \circ )$ generado por los elementos de $\{g_i\}$ . Si este subgrupo es todo el grupo, entonces se dice que $(G, \circ )$ está generado por $\{gi : i\in I\}$ y cada $g_i$ es un generador del grupo, si el conjunto es finito, se dice que $(G, \circ )$ es finitamente generado. En especial, todos los grupos finitos son finitamente generados.

Lo anterior se puede expresar como una proposición.

Proposición: (Judson y Beezer, 2017) Sea $H$ el subgrupo de un grupo $(G, \circ )$ que es generado por $\{g_i\in G : i\in I\}$ . Entonces $h\in H$ si y solo si puede ser expresado como un producto de la forma

$h=g_{i1}^{\alpha 1}\circ ... \circ g_{in}^{\alpha n}$

donde los $g_{ik}$ no necesariamente son diferentes.

p-grupo

Un grupo $(G, \circ )$ es un p-grupo si todos los elementos de su conjunto tienen como orden a una potencia de un número primo (p). Recuerda que el orden de un elemento g es el mínimo exponente que resuelve ecuación $a^n=e (n\in \mathbb{N})$ , donde $e$ es el elemento identidad, cuando no existe tal número, se dice que el elemento tiene orden infinito.

Los Teoremas de Sylow son los siguientes (Weisstein, Eric W., 2020). Sea $p$ un número primo, $(G,\circ )$ un grupo finito y $|G|$ el orden de $(G,\circ )$ .

Si $p$ divide $|G|$ , entonces $(G,\circ )$ tiene un p-subgrupo de Sylow.
En un grupo finito, todos los p-subgrupos de Sylow son conjugados de algún $p$ .
El número de p-subgrupos de Sylow para un $p$ fijo es congruente a $1$ (mod $p$ ).

Recuerda que para un subgrupo $(H,\circ )$ de $(G,\circ )$ , su subgrupo conjugado será de la forma $(gHg^{-1},\circ )$ , dado un $g\in G$ .

Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos: (Judson y Beezer, 2017) Cada grupo abeliano finito es isomórfico al producto directo de grupos cíclicos de la forma

$\mathbb{Z}_{p_1^{\alpha_1}}\times\mathbb{Z}_{p_2^{\alpha_2}}\times ... \times \mathbb{Z}_{p_n^{\alpha_n}}$

donde los $p_i$ s son primos, no necesariamente distintos.

A continuacón, la forma más general del teorema.

Teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados: (Judson y Beezer, 2017) Cada grupo abeliano finitamente generado es isomórfico al producto directo de grupos cíclicos de la forma

$\mathbb{Z}_{p_1^{\alpha_1}}\times\mathbb{Z}_{p_2^{\alpha_2}}\times ... \times \mathbb{Z}_{p_n^{\alpha_n}}\times \mathbb{Z}\times ...\times \mathbb{Z}$

donde los $p_i$ s son primos, no necesariamente distintos.

Grupos solubles

Una serie subnormal de un grupo $G$ es una secuencia finita de subgrupos

$G=H_n\supset H_{n-1}\supset ... \supset H_1 \supset H_0 = \{e\}$

, donde $H_i$ es un subgrupo normal de $H_{i+1}$ . Si cada subgrupo es normal en $G$ , entonces la serie es llamada serie normal. La longitud de cada serie se calcula como el número de inclusiones propias.

Una serie normal (subnormal) $\{M_j\}$ es un refinamiento de una serie normal (subnormal) $\{N_i\}$ si $\{N_i\}\subset\{M_j\}$ .

Dos series normales (subnormales) $\{H_i\}$ y $\{K_j\}$ de un grupo son isomórficas si hay una correspondencia 1-1 entre las colecciones de grupos factores $\{H_{i+1}/H_i\}$ y $\{K_{j+1}/K_j\}$ .

Una serie subnormal $\{H_i\}$ de un grupo es una serie de composición si todos los grupos factores son simples (solo tienen grupos normales triviales). Una serie normal $\{H_i\}$ de un grupo es una serie principal si todos los grupos factores son simples.

Teorema de Jordan-Hölder: Cualquier par de series de composición de un grupo son isomórficas.

Como corolario, ambas series de composición tienen la misma longitud. El teorema de Jordan-Hölder también muestra una manera en la que un grupo finito $G$ es construído a partir de una secuencia de grupos simples. Los cuales son llamados factores de composición de $G$ .

Un grupo es soluble si tiene una serie subnormal $\{H_i\}$ con grupos factores $\{H_{i+1}/H_i\}$ abelianos.

Referencias

Judson, T. W. y Beezer R. A. (2017) Abstract Algebra: Theory and Applications.
Weisstein, Eric W. (2020) “Sylow Theorems.” From MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/SylowTheorems.html

Acción de grupos

Sea $(G, \circ )$ un grupo y $X$ un conjunto. Una acción (izquierda) de $(G, \circ )$ en $X$ es un mapeo $\phi : G \times X \to X$ dado por $(g,x_1) \mapsto x_2$ , donde se cumple para todo elemento de $X$ que

$\forall x \in X,e\in G (\phi (e,x)=x)$
$\forall x \in X, \forall g_1,g_2\in G (\phi(\phi(g_1, g_2), x) = \phi (g_1 , \phi (g_2, x))$

Se considera al conjunto $X$ como un G-conjunto.

Si $G$ actúa sobre un set $X$ y $x,y\in X$ , entonces $x$ se dice que es G-equivalente a $y$ si existe un elemento $g$ en $G$ para el que $gx=y$ .

Proposición: (Judson y Beezer, 2017) Sea $X$ un G-conjunto, entonces G-equivalencia es una relación de equivalencia en $X$ .

Cada partición generada en $X$ por la relación de equivalencia es llamada una órbita de $X$ bajo $G$ . La notación para estos conjuntos será $\mathcal{O}_x$ , donde $x$ es un elemento de este conjunto.

Dada la notación anterior, el conjunto de punto fijo de $g$ en $X$ , denotado como $X_g$ , será el subconjunto de $X$ que cumpla con la condición $gx=x$ .

De forma análoga se puede definir el subconjunto de $G$ que fija un elemento $x$ de $X$ , es decir, el conjunto

$G_x=\{g\in G : gx=x \}$

Se prueba que este conjunto es un subgrupo de $(G, \circ)$ . Este subgrupo es llamado subgrupo estabilizador de $x$ y, en algunos contextos, subgrupo isotrópico.

Teorema: (Judson y Beezer, 2017) Sea $G$ un grupo finito y $X$ un G-conjunto finito. Si $x\in X$ , entonces $|\mathcal{O}_x|=[G:G_x]$ .

Referencias

Judson, T. W. y Beezer R. A. (2017) Abstract Algebra: Theory and Applications.