«Home

Análisis Real

Índice

  1. Números Reales

Números Reales

Los números reales son aquellos elementos del conjunto \( \mathbb{R} \), conocido como el conjunto de números reales. Estos elementos satisfacen una serie de axiomas que se agrupan en (1) propiedades algebraicas de los números reales, (2) propiedades de orden de los números reales y (3) axioma de completitud. Las propiedades algebraicas también se conocen como axiomas de campo pues definen a una estructura algebraica conocida como campo (field, en inglés). En efecto, los números reales junto con sus operaciones son un campo.

Axiomas de campo

Definen dos operaciones binarias en \( \mathbb{R} \) representadas con \( + \) (suma) y \( \cdot \) (multiplicación).

En base a esto se define al campo \( (\mathbb{R},+,\cdot) \). Tome en cuenta que el símbolo “\( - \)” en la existencia del inverso aditivo no es la operación de resta sino una parte del símbolo \( -a\) que representa al inverso aditivo de \( a \). Del mismo modo, el “exponente” \( -1 \) en la existencia del inverso multiplicativo no es una potencia de \( a \) sino es una parte del símbolo \( a^{-1} \) que representa al inverso multiplicativo de \( a \).

Tomando únicamente a la operación de suma, la estructura algebraica \( (\mathbb{R},+) \) es un grupo abeliano o conmutativo.

Axiomas de orden

Se define la relación de orden ( \( < \) ) en el conjunto \( \mathbb{R} \). Esta relación se define de acuerdo a

De este modo, se define a \( \mathbb{R} \) como un campo ordenado \( (\mathbb{R},+,\cdot,<) \). Además, \( (\mathbb{R},<) \) es un conjunto totalmente ordenado. De hecho, \( (\mathbb{Q},+,\cdot,<) \) también es un campo ordenado, por ende, es necesario añadir una propiedad más a \( \mathbb{R} \) para diferenciarlo de \(\mathbb{Q} \), esta propiedad viene en la forma del axioma siguiente.

Axioma de completitud

Este axioma “completa” a los números racionales en números reales, dicho de otro modo, llena los espacios de los racionales y los expande en un conjunto completo. Entre las formas de completitud que se tienen, las más conocidas son la propiedad de la menor cota superior (Least Upper Bound property) y la completitud de Cauchy. Dado que \( \mathbb{R} \) satisface una forma del axioma de completitud, satisface todas. De este modo, solo es necesario enunciar una. A continuación, la propiedad de la menor cota superior:

Cabe resaltar que este axioma no es parte del conjunto original de axiomas que propuso Hilbert en su trabajo de 1900 titulado “Über den Zahlbegriff” (Acerca del concepto de los números) en el que propone los axiomas de los números reales que hemos presentado acá con algunas modificaciones. En lugar de este axioma, Hilbert propuso el Axioma Arquimeadiano (“Archimedisches Axiom”) y el Axioma de completitud (“Axiom der Vollständigkeit”) que establecía que no era posible expandir el sistema axiomático de los números reales, en otras palabras, los 18 axiomas que presentó estaban completos. De acuerdo a Hilbert, los números reales son un sistema de cosas cuyas relaciones satisfacen los axiomas presentados (Resnil, 1974).

Con esto, \( (\mathbb{R},+,\cdot,<) \) se define como un campo ordenado completo.

Del axioma de completitud se desprende directamente que si un conjunto no vacío tiene una cota inferior, entonces tienen un infimo (mayor cota inferior).

Definición (D’angelo & West, 1997): Une secuencia \( \langle a_n\rangle \) de números reales tiene un límite \( L\in\mathbb{R}\) si, para todo \( \epsilon >0\) existe un \( N\in\mathbb{N} \) tal que \( n\geq N\) implica que \( |a_n-L|<\epsilon \).

Luego, una secuencia converge si tiene un límite. Consecuentemente, una secuencia divergente es aquella que no tiene un límite.

Teorema de Convergencia Monótona

Referencias